当存款人去世后，其家人想要提取银行存款，确实需要遵循一定的流程和提供必要的证明文件。以下是根据您提供的信息以及相关法律法规，为您详细解答的步骤和所需材料：
一、提取已故存款人银行存款的途径
通过公证处公证解决：
- 合法继承人需持本人身份证、户口本，并提供直系亲属关系证明（如居民户口簿、结婚证、出生证明等）或其他能够证明亲属关系的材料，到公证处申请办理继承公证书。
- 如果已故存款人留有遗嘱，且遗嘱中指定了继承人或受遗赠人，那么继承人或受遗赠人也可以凭公证遗嘱到公证处办理继承公证书。
- 取得公证书后，继承人或受遗赠人需将公证书提供给银行，以便银行办理过户或支付手续。
通过法院诉讼解决：
- 如果存款的继承权存在纠纷，或者无法通过公证处办理继承公证书，继承人可以继承权纠纷或储蓄合同纠纷为由，向人民法院提起诉讼。
- 法院在审理案件后，会出具生效裁判文书，继承人可以凭此文书到银行将已故亲人的存款取出。
二、简化提取小额存款的流程
根据国家金融监督管理总局、中国人民银行联合发布的《关于优化已故存款人小额存款提取有关要求的通知》，如果已故存款人在同一法人银行业金融机构的账户余额合计不超过5万元人民币，继承人可以简化提取流程，无需提交公证书。但需提供以下材料：
- 能够证明已故存款人死亡事实的材料（如死亡证明、火化证明等）；
- 提取申请人的有效身份证件；
- 提取申请人亲笔签名的承诺书，承诺所提取的款项为已故存款人的遗产，并愿意承担相应法律责任；
- 居民户口簿、结婚证、出生证明等能够证明亲属关系的材料，或指定提取申请人为已故存款人的继承人或受遗赠人的公证遗嘱（如果已故存款人留有遗嘱且指定了继承人或受遗赠人）。
三、特殊情况的处理
- 丧葬费、抚恤金：如果已故存款人的账户中汇入了丧葬费、抚恤金，这些资金不计入5万元的账户限额，可以全额简化提取。申请人需通过适当方式表明账户中资金属于丧葬费、抚恤金，并签署承诺书。银行在核查交易信息和资金来源后，会办理简化提取手续。
- 查询交易账户明细：继承人可以应第一顺序继承人要求，向银行查询已故存款人死亡后以及死亡前6个月内的账户交易明细。但需注意，查询账户交易明细可能涉及已故存款人的个人信息和隐私权，因此银行会谨慎对待，并可能要求申请人提供相关证明材料。
四、建议
- 在处理已故存款人的银行存款时，建议继承人先与银行沟通，了解具体的提取流程和所需材料。
- 如果存款金额较大或继承权存在纠纷，建议咨询专业律师或公证处工作人员，以便更好地维护自己的合法权益。
- 为了避免类似情况的发生，建议存款人在生前就对自己的财产进行妥善规划和安排，如立下遗嘱或与家人进行充分沟通。
希望以上解答能够帮助您更好地了解和处理已故存款人的银行存款提取问题。如有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时咨询银行或相关法律专业人士。