结论前置：在债权人出借钱款后死亡，其继承人起诉的案由通常为“被继承人债务清偿纠纷”。若基础法律关系是民间借贷，也可选择“民间借贷纠纷”作为案由。以下是详细解析：
一、被继承人债务清偿纠纷
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负清偿责任。
适用情况：
- 当债权人死亡后，其继承人继承了债权人的遗产，并因此需要承担被继承人（即原债权人）的债务清偿责任。在此情况下，原债务人的继承人（如果继承了债务人的遗产）也可能成为被追偿的对象，但案由仍围绕被继承人的债务清偿展开。不过，更常见的是债权人死亡后，其继承人向债务人或债务人的继承人主张债权，此时若债务人已死亡，则案由为被继承人债务清偿纠纷，针对的是债务人继承人在继承范围内的清偿责任。
实例说明：
- 假设甲借给乙一笔钱，后甲去世，甲的继承人丙继承了甲的财产。若乙未还款且也去世，乙的继承人丁继承了乙的财产。此时，丙可以基于被继承人债务清偿纠纷起诉丁，要求丁在继承乙的遗产范围内偿还甲的借款。
二、民间借贷纠纷（若基础法律关系是民间借贷）
法律依据：
- 除了上述民法典的规定外，若债务源于民间借贷，还涉及《最高人民法院关于审理民间借贷案件适用法律若干问题的规定》，该规定对借贷关系的成立、利息计算等进行了详细规定。
适用情况：
- 当债权人与债务人之间的基础法律关系是民间借贷时，即使债权人死亡，其继承人仍可以民间借贷纠纷为案由起诉债务人的继承人，要求其在继承遗产范围内偿还借款本息。
实例说明：
- 如上述例子中，若甲借给乙的钱是基于民间借贷关系，且约定了利息和还款期限。甲去世后，其继承人丙可以民间借贷纠纷为由起诉乙的继承人丁，要求丁按照约定偿还借款本金及利息。
三、实际操作建议
确认继承人身份：
- 债权人（或其继承人）需首先确认债务人的继承人身份，以确保起诉对象的准确性。
评估遗产价值：
- 了解债务人遗产的实际价值，以确定继承人应承担的债务范围。
准备诉讼材料：
- 收集相关证据，如借款合同、转账记录、遗产证明等，以支持诉讼请求。
提起诉讼：
- 在满足起诉条件的基础上，向有管辖权的人民法院提起诉讼，要求继承人在遗产范围内清偿债务。
法律程序跟进：
- 积极参与诉讼过程，配合法院的调查和审理，直至获得公正的裁决。
温馨提示：在处理此类案件时，法院会综合考虑债务的真实性、遗产的价值、继承人的实际情况以及相关法律法规的规定，作出公正的裁决。若您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。