结论：自动转正后没有签劳动合同辞工，在符合特定条件的情况下，劳动者是可以申请双倍工资的。但这一权利并非绝对，需根据具体案情和证据来判断。
法律依据与条件分析
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一条款同样适用于自动转正后未签劳动合同的情况。
申请双倍工资的条件：
- 存在劳动关系：劳动者必须证明与用人单位之间存在事实上的劳动关系。这可以通过工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言或用人单位的相关文件等证据来支持。
- 时间范围符合要求：双倍工资的申请仅限于用人单位自用工之日起超过一个月不满一年的时间段内，即从入职第二个月开始计算，最多可主张11个月的双倍工资。若劳动者在用人单位工作已满一年，则从一年届满之次日起，视为已订立无固定期限劳动合同，不再主张双倍工资，但用人单位仍需支付从入职第二个月起至一年届满之日止的双倍工资差额。
- 辞工不影响权利：自动辞工本身并不妨碍劳动者主张未签订劳动合同的双倍工资，只要在仲裁时效内（一般为一年）提出申请即可。
特殊情况考虑：
- 如果劳动者能证明用人单位存在违反法律规定的行为（如未提供劳动保护、未及时足额支付劳动报酬等）导致其辞工，那么除了可能申请双倍工资外，还可能根据相关法律法规要求经济补偿。
示例说明
以小李为例，他于2024年1月1日入职某公司，试用期一个月后自动转正，但公司一直未与其签订书面劳动合同。小李在2024年8月1日辞工。在这种情况下，如果小李能提供充分的证据证明他与公司之间存在劳动关系，并且辞工时间在法律规定的范围内，那么他有权要求公司支付从2024年2月1日至2024年7月31日期间（共6个月）的双倍工资差额。
实际操作建议
- 收集证据：劳动者应尽可能收集与用人单位存在劳动关系的证据，如工作证、考勤记录、工资条、银行流水等，以便在需要时维护自己的合法权益。
- 与用人单位协商：在决定辞工前，劳动者可以尝试与用人单位就工资问题进行协商，明确工资结算方式和时间节点，以及双倍工资差额的支付问题。
- 申请劳动仲裁：若协商无果，劳动者可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付拖欠的工资及双倍工资差额。在申请仲裁时，需提交相关证据材料以支持自己的主张。
- 法律途径维权：对仲裁结果不满意的，劳动者还可向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。
注意事项
- 劳动者在维护自身权益时，应充分了解相关法律法规，确保自己的主张有法律依据。
- 劳动者应妥善保留所有与劳动关系相关的证据，以便在需要时提供证明。
- 劳动者在辞工前应尽量通过协商或法律途径解决与用人单位之间的纠纷，避免不必要的法律风险和经济损失。
综上所述，自动转正后没有签劳动合同辞工，在符合特定条件的情况下，劳动者是可以申请双倍工资的。但为了确保自身权益得到保障，劳动者应充分了解相关法律法规并收集好相关证据。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。