盗窃罪法院给予不起诉决定，通常情况下不会留下严格意义上的犯罪案底，但具体还需根据不起诉的类型来判断。以下是对不同不起诉类型及其是否会留下案底的详细分析：
法定不起诉：
- 情形：依据《刑事诉讼法》第一百七十七条第一款，当犯罪嫌疑人没有犯罪事实，或存在情节显著轻微、危害不大等特定情形时，人民检察院应作出不起诉决定。
- 是否留案底：不会留下案底。因为这些情形下，犯罪嫌疑人的行为实际上不构成犯罪或依法不应追究刑事责任，因此不存在犯罪记录。
酌定不起诉：
- 情形：依据《刑事诉讼法》第一百七十七条第二款，对于犯罪情节轻微且依照刑法规定不需要判处刑罚或免除刑罚的，检察院可以作出不起诉决定。
- 是否留案底：司法实践中存在一定争议，但主流观点认为，由于没有经过法院审判定罪，通常不会视为有严格意义上的犯罪案底。然而，这并不意味着完全没有记录，可能会有相关的违法记录，但这并不等同于犯罪记录。
证据不足不起诉：
- 情形：根据《刑事诉讼法》第一百七十五条第四款，若案件经过二次补充侦查后，检察院仍认为证据不足，不符合起诉条件，则应作出不起诉决定。
- 是否留案底：不会留下案底。因为现有证据不能证明犯罪嫌疑人构成犯罪，按照疑罪从无的原则，检察院作出不起诉决定。但需要注意的是，如果之后有新的证据出现，检察机关仍有可能对行为人进行起诉。
其他注意事项：
- 即使案件没有被起诉或审判，如果犯罪嫌疑人的行为触犯了法律并受到了行政处罚（如行政拘留、罚款等），这些处罚记录也是会被记录在案的，但这并不等同于犯罪案底。
- 在某些特定情况下（如涉及国家安全、恐怖主义活动等），即使案件没有被起诉或审判，相关机构也可能会对个人进行一定程度的监控或记录，但这同样不构成犯罪案底。
建议：
- 对于具体的法律问题或担忧，建议直接向我咨询，以获取更准确的答案和建议。因为每个案件都有其独特性和复杂性，需要根据具体情况来判断。
- 如果面临此类情况，建议保留好所有相关法律文件，如不起诉决定书等，以备不时之需。
综上所述，盗窃罪法院给予不起诉决定是否会留下案底，取决于不起诉的具体类型及后续情况。在大多数情况下，法定不起诉和证据不足不起诉不会留下案底，而酌定不起诉则可能留下相关违法记录。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。