劳动仲裁机构无权扣押当事人的身份证。以下是对此问题的详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国居民身份证法》第十五条的规定，任何组织或者个人不得扣押居民身份证。但是，公安机关依照《中华人民共和国刑事诉讼法》执行监视居住强制措施的情形除外。劳动仲裁机构并不属于公安机关，且劳动仲裁程序并不涉及刑事强制措施，因此无权扣押当事人的身份证。

2. 劳动仲裁机构的职责与权限：

   • 劳动仲裁机构的主要职责是受理并裁决劳动争议案件，其权限范围主要限于对劳动争议事项的调查、调解和裁决。扣押身份证等强制措施并不属于其法定权限范围。

3. 身份证的重要性与保护：

   • 身份证是公民的重要身份证明文件，具有极高的法律价值和个人信息保护意义。任何非法扣押身份证的行为都可能侵犯公民的合法权益，并可能面临法律责任。

4. 若遇到身份证被扣押的情况：

   • 如果当事人在劳动仲裁过程中遇到身份证被扣押的情况，应立即向劳动仲裁机构提出异议，并要求其立即返还身份证。
   • 如果劳动仲裁机构拒绝返还，当事人可以向当地公安机关报案，寻求法律帮助和保护。

建议与注意事项：

• 在参与劳动仲裁过程中，当事人应妥善保管好自己的身份证等重要证件，避免遗失或被盗用。
• 如果对劳动仲裁机构的裁决结果有异议，可以通过合法途径提出申诉或起诉，但不应采取非法手段（如扣押身份证）来维护自己的权益。

综上所述，劳动仲裁机构无权扣押当事人的身份证。当事人在参与劳动仲裁过程中应了解自己的合法权益，并妥善保管好自己的重要证件。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。