结论：妹妹在特定条件下可以起诉哥哥，但具体能否起诉成功及获得何种法律救济，需结合实际情况和证据来判断。以下从不同角度进行分析：

一、法律关系分析

1. 侵权责任角度：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
   • 应用分析：若哥哥在伺候老妈的过程中，因疏忽大意或故意不作为导致老妈摔倒且未及时告知妹妹、未送医治疗，进而造成老妈病情加重，哥哥的行为可能构成对老妈健康权的侵害。在此情况下，老妈作为直接受害人，有权要求哥哥承担侵权责任。若老妈因年龄、健康状况等原因无法自行主张权利，妹妹作为近亲属，在老妈未明确表示放弃权利的情况下，可以代为主张。

2. 家庭关系与赡养义务角度：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》中关于家庭关系和赡养义务的规定，子女对父母有赡养扶助的义务。
   • 应用分析：哥哥作为老妈的子女，有义务照顾老妈的生活起居，包括在老妈生病时及时送医治疗。若哥哥未履行该义务，导致老妈病情加重，不仅可能构成侵权，还可能违反赡养义务。在此情况下，妹妹可以基于家庭关系和赡养义务的角度，要求哥哥承担相应的责任。但需注意，家庭关系和赡养义务更多涉及道德和伦理层面，法律上的救济途径可能相对有限。

二、起诉条件与证据收集

1. 起诉条件：

   • 妹妹作为原告，需要证明自己与案件有直接利害关系（如作为老妈的近亲属代为主张权利）。
   • 需要有明确的被告（即哥哥）。
   • 需要有具体的诉讼请求和事实、理由（如要求哥哥承担侵权责任、赔偿损失等）。
   • 案件需要属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖。

2. 证据收集：

   • 妹妹需要收集能够证明哥哥存在过错（如疏忽大意或故意不作为）、老妈摔倒及病情加重的事实、以及哥哥行为与老妈病情加重之间存在因果关系的证据。
   • 证据可能包括目击者证言、医疗记录、监控录像、通讯记录等。

三、法律后果与救济途径

1. 法律后果：

   • 若法院认定哥哥存在过错且需承担侵权责任，哥哥可能需要赔偿老妈因此遭受的损失（如医疗费、护理费、营养费等）。
   • 若哥哥的行为构成犯罪（如虐待罪），还可能面临刑事处罚。

2. 救济途径：

   • 妹妹可以先尝试与哥哥协商解决纠纷，如要求哥哥承担医疗费用、照顾老妈等。
   • 若协商无果，妹妹可以向人民法院提起民事诉讼，要求哥哥承担侵权责任。
   • 若老妈的病情严重且哥哥的行为涉嫌犯罪，妹妹还可以向公安机关报案，要求追究哥哥的刑事责任。

四、实际操作建议

1. 及时咨询专业律师：由于法律问题具有复杂性和专业性，妹妹在起诉前最好咨询专业律师的意见，以便更好地了解自己的权利和义务、以及起诉的可行性和风险。
2. 积极收集证据：证据是诉讼的关键，妹妹应积极收集与案件相关的证据，以便在诉讼中证明自己的主张。
3. 保持冷静和理性：在处理家庭纠纷时，保持冷静和理性至关重要。妹妹应尽量避免情绪化的行为，以免加剧矛盾或影响诉讼结果。

最后，若您在此过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。