结论：从法律层面分析，离职后4年追回十几年前私人医院未缴纳保险赔偿款存在较大难度，但并非完全没有可能，具体情况如下：

1. 诉讼时效问题

根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二十七条规定，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。不过，如果存在劳动关系存续期间因拖欠劳动报酬发生争议的情况，劳动者申请仲裁不受该一年时效期间的限制，但劳动关系终止的，应当自劳动关系终止之日起一年内提出。

在您的情况中，离职已经4年，从常规的劳动争议仲裁时效来看，已经超过了法定的一年期限。但这里需要明确的是，未缴纳社会保险的争议是否属于“拖欠劳动报酬”的范畴存在一定争议。一般来说，社会保险费用不属于劳动报酬，所以大概率会适用一年的普通仲裁时效。不过，如果能够证明在离职后的一年内，您因为某些合理原因（如一直在与医院协商、不知晓自身权利被侵害等）导致时效中断或中止，那么时效可能会重新计算或者暂停计算，这样您就还有机会主张权利。

2. 证据收集问题

要追回赔偿款，关键在于能够提供充分的证据证明您与该私人医院存在劳动关系以及医院未为您缴纳社会保险的事实。

• 劳动关系证明：可以收集劳动合同、工作证、工资发放记录（如银行流水，需显示工资发放方为该医院）、考勤记录、同事证言等。这些证据能够清晰地表明您在十几年前与医院建立了劳动关系，是主张权利的基础。
• 未缴纳保险证明：您可以向当地社会保险经办机构查询自己的社保缴纳记录，如果记录显示在该医院工作期间没有相应的社保缴纳信息，这就是有力的证据。同时，也可以要求医院提供社保缴纳的相关凭证，如果医院无法提供，也能侧面证明其未履行缴纳义务。

3. 法律途径及可行性

• 劳动仲裁：虽然时效可能成为障碍，但您仍然可以先向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在仲裁过程中，您可以详细陈述情况，提供证据，争取让仲裁委认定时效中断或中止，从而受理您的案件。如果仲裁委以超过时效为由不予受理，您还可以在收到不予受理通知书后的一定期限内向法院提起诉讼。
• 向劳动监察部门投诉：您也可以向当地的劳动保障监察部门投诉医院未依法缴纳社会保险的行为。劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行查处，并责令其补缴社会保险。不过，劳动监察的查处也有一定的时效限制，一般是两年，但对于涉及劳动者权益的重大违法行为，可能会适当延长。不过十几年时间较长，劳动监察部门能否受理并处理也存在不确定性。

4. 实际操作建议

• 尽快收集上述提到的各类证据，确保证据的完整性和有效性。
• 咨询当地劳动争议仲裁委员会或劳动保障监察部门，了解具体的政策规定和操作流程，以及他们对于您这种情况的看法和处理方式。
• 考虑委托专业的律师协助您处理此事，律师可以根据具体情况制定合理的诉讼策略，提高您追回赔偿款的成功率。

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