针对您提出的“合同到期员工不肯走怎么处理”的问题，这实际上是一个涉及公司管理和法律权益的复杂情况。作为公司方，在处理此类问题时，需要遵循法律法规，同时尊重员工的权益。以下是我为您提供的详细分析和建议：
一、确认合同到期与了解员工意图
核查合同：首先，公司应仔细核查与该员工的劳动合同，确认合同确实已经到期，并查阅合同中关于续签、终止等条款的具体约定。
沟通了解：主动与员工进行沟通，了解其不肯离职的具体原因。可能是员工对合同续签有误解，或者有其他个人原因导致暂时无法离职。在沟通过程中，保持耐心和尊重，尽量以书面形式记录沟通内容，以备后续参考。
二、处理员工不肯离职的情况
明确告知：如果员工确实没有续签合同的意愿，或者公司决定不续签，公司应明确告知员工合同已经到期，且双方没有续签的意愿或条件，要求员工按照合同约定或公司规定办理离职手续。
经济补偿：根据《劳动合同法》的相关规定，如果公司决定不续签合同，且员工没有过错，公司应向员工支付经济补偿。补偿标准按照员工在本公司工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
书面通知：如果员工仍然不肯离职，公司可以向员工发出书面通知，明确要求其在一定期限内办理离职手续，并告知逾期未办理将承担的法律责任。
三、法律途径与风险防范
劳动监察部门投诉：如果员工拒绝办理离职手续，公司可以向当地劳动监察部门投诉，要求其介入处理。劳动监察部门有权责令员工办理离职手续，并可能对公司和员工进行调解。
劳动仲裁：如果劳动监察部门的处理未能解决问题，或者员工对公司提出的经济补偿等要求有异议，公司可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在仲裁过程中，公司需要提供充分的证据支持自己的主张，如劳动合同、工资条、沟通记录等。
法律诉讼：对于仲裁结果不满意或员工存在违法行为（如侵占公司财产、泄露商业秘密等），公司可以向有管辖权的人民法院提起诉讼，要求员工承担法律责任。
四、注意事项与建议
保持冷静与理性：在处理此类问题时，公司应保持冷静和理性，避免与员工发生冲突或采取过激行为。
咨询专业律师：如有需要，公司可以咨询专业律师或相关机构，了解更多法律知识和维权途径，以确保处理过程的合法性和有效性。
完善公司制度：为了避免类似情况的发生，公司应完善相关制度，明确合同到期后的处理流程和责任分工，确保在处理此类问题时能够有章可循、有据可查。
综上所述，当合同到期员工不肯走时，公司应首先确认合同到期情况并了解员工意图，然后按照法律法规和公司制度进行处理。如果员工仍然不肯离职，公司可以通过法律途径来维护自己的权益。在整个过程中，公司应保持冷静和理性，尊重员工的权益，并咨询专业律师以确保处理过程的合法性和有效性。