结论：员工不签公司提出的离职手续，对公司的影响主要取决于公司提出离职的合法性及后续处理方式。若公司合法解除劳动合同，员工不签离职手续可能影响离职流程的顺利完成；若公司违法解除劳动合同，员工不签离职手续则可能成为公司违法行为的证据之一，公司可能面临法律风险。以下从不同角度详细分析：
一、公司合法解除劳动合同的情况
法律后果：
- 若公司因员工存在《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的情形（如严重违反公司规章制度、被依法追究刑事责任等）而合法解除劳动合同，员工不签离职手续通常不会对公司产生直接的法律责任。但离职手续的未完成可能影响员工后续的就业、社保转移等事宜，同时也可能影响公司内部管理流程的顺畅进行。
公司应对措施：
- 公司应确保解除劳动合同的合法性，并保留相关证据（如员工违规记录、辞退通知等）。
- 公司可以通过书面形式（如邮件、快递等）向员工发送离职通知，并明确告知员工不签离职手续的法律后果，如可能影响离职证明的开具、社保转移等。
- 若员工仍拒绝签收，公司可以邀请工会或第三方见证，并保留相关证据，以证明公司已履行告知义务。
二、公司违法解除劳动合同的情况
法律后果：
- 若公司违法解除劳动合同（如未提前通知、未支付经济补偿等），员工不签离职手续则可能成为公司违法行为的证据之一。
- 公司可能因此面临劳动监察部门的处罚，如责令改正、支付赔偿金等。
- 员工有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金等。
公司应对措施：
- 公司应立即停止违法行为，并主动与员工协商解决，如支付经济补偿、恢复劳动关系等。
- 若员工拒绝协商或协商无果，公司应积极配合劳动监察部门的调查，并主动承担法律责任，以避免更严重的法律后果。
三、对员工的建议
了解自身权益：
- 员工应了解《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规，明确自身在离职过程中的权益和义务。
保留证据：
- 员工应保留与公司沟通的相关记录（如邮件、聊天记录等），以及公司提出的离职通知、经济补偿方案等文件，以备不时之需。
积极沟通：
- 若员工对公司提出的离职手续有异议，应积极与公司沟通协商，寻求合理解决方案。
寻求法律援助：
- 若员工认为公司违法解除劳动合同或侵犯自身权益，可以向当地劳动监察部门投诉或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，必要时也可以寻求专业律师的帮助来维护自身权益。
法律依据：
- 《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条、第四十条、第四十六条、第四十七条、第四十八条、第八十七条等条款规定了用人单位解除劳动合同的合法情形、经济补偿的支付标准以及违法解除劳动合同的法律责任。
- 《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》等法律法规为劳动者提供了维护自身权益的法律途径和程序。
总结：员工不签公司提出的离职手续对公司的影响取决于公司解除劳动合同的合法性。若公司合法解除，员工应配合完成离职手续；若公司违法解除，员工有权拒绝并寻求法律援助。在任何情况下，员工都应了解自身权益并保留相关证据，以便在必要时维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。