结论：病假期间做兼职，公司是否有权解除劳动合同以及是否需要赔偿，需根据具体情况判断。若员工行为严重违反公司规章制度或劳动合同约定，公司有权解除劳动合同且无需赔偿；若员工行为不构成严重违反，公司解除劳动合同则可能需支付赔偿金。
详细分析：
公司规章制度与劳动合同约定：
- 首先，需查看公司的规章制度以及员工与公司签订的劳动合同中，是否有关于病假期间不得从事兼职工作的明确规定。若存在此类规定，且员工在病假期间确实从事了兼职工作，那么员工的行为就构成了违反公司规章制度或劳动合同约定的情形。
- 在此情况下，公司有权依据规章制度或劳动合同的约定，解除与员工的劳动合同，且通常无需支付赔偿金。因为员工的行为已经违反了双方之间的约定，公司有权采取相应的纪律处分措施。
员工兼职行为的性质与影响：
- 即便公司规章制度或劳动合同中没有明确规定病假期间不得兼职，但若员工的兼职行为严重影响了其本职工作的履行，或者对公司造成了不良影响（如泄露公司机密、利用公司资源为兼职单位谋利等），公司同样有权解除劳动合同。
- 在此情形下，公司解除劳动合同的合法性取决于员工兼职行为的具体性质与影响。若员工行为确实构成了对公司利益的严重损害，公司解除劳动合同则无需支付赔偿金。
公司解除劳动合同的合法性与赔偿问题：
- 若员工的兼职行为并未违反公司规章制度或劳动合同约定，也未对公司造成不良影响，那么公司单方面解除劳动合同就可能构成违法解除。
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位违法解除劳动合同的，应当向劳动者支付赔偿金。赔偿金的计算标准通常为劳动者在本单位工作的年限乘以月工资的两倍（具体标准可能因地区而异，需参照当地法律法规）。
建议与行动指南：
- 对于员工：在病假期间若想从事兼职工作，应首先查看公司规章制度和劳动合同中的相关规定，确保自己的行为不违反约定。同时，应确保兼职工作不会影响本职工作的履行，也不会对公司造成不良影响。
- 对于公司：若发现员工在病假期间从事兼职工作，且该行为违反了公司规章制度或劳动合同约定，或对公司造成了不良影响，公司应依法采取相应的纪律处分措施，包括解除劳动合同（若符合法定条件）。在解除劳动合同前，公司应确保自己的决定有充分的法律依据和事实支持，以避免支付不必要的赔偿金。
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