结论：商家邀请老人参加活动，老人回家路上摔倒的责任划分需根据具体情况来确定，主要考虑商家是否存在过错、老人自身是否存在过错以及是否存在其他第三方因素等。以下从不同角度进行分析：
商家责任角度
商家存在过错的情况：
- 如果商家在组织活动过程中，未尽到安全保障义务，例如活动现场存在安全隐患（如地面湿滑、障碍物等）且未设置警示标志或采取防护措施，导致老人在活动现场或回家路上因这些隐患摔倒，商家可能需要承担相应的赔偿责任。
- 商家在活动结束后，如果未提供合理的交通安排或指引，导致老人在回家路上因迷路、走错路等原因摔倒，商家也可能因未尽到合理的照顾义务而承担一定责任。
商家无过错的情况：
- 如果商家在组织活动过程中已经尽到了安全保障义务，活动现场无安全隐患，且提供了合理的交通安排或指引，老人摔倒是由于自身原因（如年迈体弱、行动不便、疏忽大意等）或其他第三方因素（如第三方车辆碰撞、他人推搡等）导致的，商家通常不需要承担赔偿责任。
老人自身责任角度
- 老人作为完全民事行为能力人（或限制民事行为能力人，但在此类活动中应视为具备相应的判断能力），应当对自己的安全负责。如果老人摔倒是由于自身原因导致的，如未注意脚下路况、未遵守交通规则等，老人自身可能需要承担一定的责任。
其他第三方因素角度
- 如果老人摔倒是由于第三方因素导致的，如第三方车辆碰撞、他人推搡、恶劣天气等，那么责任应由相应的第三方承担。在这种情况下，商家如果已经尽到了安全保障义务，通常不需要承担赔偿责任。
法律建议
收集证据：
- 如果老人或其家属认为商家存在过错，应尽快收集相关证据，如活动现场的照片、视频、证人证言等，以证明商家未尽到安全保障义务或存在其他过错行为。
协商解决：
- 在收集到足够证据后，可以尝试与商家进行协商解决，要求商家承担相应的赔偿责任。如果商家愿意承担责任并达成赔偿协议，可以签订书面协议以明确双方的权利和义务。
法律途径：
- 如果协商无果或商家拒绝承担责任，老人或其家属可以向法院提起诉讼，要求商家承担赔偿责任。在诉讼过程中，需要提供充分的证据来证明商家的过错行为以及该行为与老人摔倒之间的因果关系。
最后，责任划分是一个复杂的过程，需要考虑多种因素。如果老人或其家属对此有疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见。