结论：公司因未与员工签订劳动合同而被起诉时，一般不能直接要求人事赔钱，但公司可依据内部规章制度追究人事部门的责任。以下从法律责任归属、公司内部追责、员工维权途径三个角度展开分析：

一、法律责任归属：公司是直接责任主体

根据《劳动合同法》第十条、第八十二条，用人单位（公司）未在用工之日起1个月内与员工签订书面劳动合同的，需向员工支付双倍工资差额（最长11个月）。法律明确将责任主体限定为“用人单位”，而非具体工作人员。因此，员工起诉时，被告应为公司，而非人事部门或个人。

示例：若员工2023年1月入职，公司未签合同，员工2023年12月申请仲裁，公司需支付2023年2月至12月的双倍工资差额（即额外支付11个月工资）。

二、公司内部追责：可依据规章制度追究人事责任

虽然法律不直接支持公司向人事索赔，但公司可通过内部管理机制追究人事部门的失职责任：

1. 制度依据：若公司《员工手册》或《人事管理制度》明确规定“未按时签订劳动合同的，对直接责任人处以罚款或扣减绩效”，公司可依据制度对人事进行处罚。
2. 操作流程：
   • 调查取证：公司需证明人事部门存在故意或重大过失（如未履行通知义务、未跟进签订流程等）。
   • 民主程序：若制度涉及罚款等处罚，需确保制度已通过职工代表大会讨论并与工会协商（依据《劳动合同法》第四条）。
   • 赔偿范围：公司仅能追偿因人事失职导致的实际损失（如额外支付的双倍工资），且需证明损失与人事行为存在直接因果关系。

注意：公司不得以“赔钱”为由直接克扣人事工资，需通过合法程序追偿。

三、员工维权途径：直接起诉公司，无需涉及人事

员工维权时，无需关注公司内部责任划分，只需按以下步骤操作：

1. 收集证据：保留工资条、考勤记录、工作证、同事证言等证明劳动关系的材料。
2. 申请仲裁：自知道权益受损之日起1年内，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付双倍工资差额。
3. 提起诉讼：若对仲裁结果不满，可在15日内向法院起诉。

法律依据：

• 《劳动合同法》第十条：建立劳动关系应订立书面劳动合同，未签订的需在1个月内补签。
• 《劳动合同法》第八十二条：用人单位未签合同的，需支付双倍工资。
• 《劳动合同法实施条例》第五条：劳动者拒签合同的，公司应终止劳动关系并支付实际工作报酬。

四、特殊情形：人事故意隐瞒或伪造合同

若人事部门存在故意隐瞒未签合同事实或伪造劳动合同等违法行为，公司可：

1. 解除劳动合同：依据《劳动合同法》第三十九条，以“严重失职、营私舞弊”为由解除与人事的劳动关系。
2. 报警处理：若人事行为涉嫌职务侵占或诈骗，公司可向公安机关报案。
3. 民事索赔：公司可单独起诉人事，要求赔偿因违法行为导致的损失（如额外支付的双倍工资、仲裁/诉讼费用等）。

总结建议：

1. 对公司而言，应完善劳动合同签订流程，明确人事部门职责，并通过培训减少失职风险。
2. 对员工而言，若公司未签合同，可直接起诉公司主张权益，无需关注人事责任。
3. 对人事而言，需严格遵守法律规定，避免因失职或违法行为承担责任。

如有进一步疑问，可直接向我咨询，我会结合具体案情为你详细分析。