关于签订无固定期限劳动合同的提出方，法律并未明确规定必须由哪一方提出，而是根据具体情况来确定。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：
劳动者连续工作满十年的情况：
- 当劳动者在同一用人单位连续工作满十年时，如果劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同，且没有主动提出订立固定期限劳动合同，那么用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。这种情况下，虽然法律没有明确规定提出方，但通常是由劳动者表达续订或订立无固定期限劳动合同的意愿。
- 例子：小李自2013年1月1日起一直在某公司工作，至2023年1月1日后，他就满足了连续工作满十年的条件。此时，如果小李提出续订无固定期限劳动合同，公司应当同意。
特定改制情况：
- 在用人单位初次实行劳动合同制度或国有企业改制重新订立劳动合同时，若劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年，应订立无固定期限劳动合同。这种情况下，提出方可能因改制的具体安排而有所不同，但通常是用人单位在改制过程中根据劳动者的条件主动提出。
- 例子：老张在某国有企业改制时，已连续工作12年且距退休还有8年。在改制过程中，公司应当主动与老张订立无固定期限劳动合同。
连续订立二次固定期限劳动合同的情况：
- 用人单位与劳动者连续订立二次固定期限劳动合同后，在续订劳动合同时，如果劳动者不存在严重违反用人单位规章制度或因自身健康、工作能力问题不能履行合同等情形，用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。这种情况下，提出方可能是用人单位在续订合同时主动提出，也可能是劳动者在续订时提出要求。
- 例子：小王与某公司连续订立了两次固定期限劳动合同，且表现良好。在第二次合同到期前，公司应当主动与小王协商订立无固定期限劳动合同，或者小王也可以主动提出这一要求。
用工满一年未签书面合同的情况：
- 如果用人单位自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，法律视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。这种情况下，无需任何一方提出，法律直接规定双方已存在无固定期限劳动合同关系。
协商一致订立无固定期限劳动合同的情况：
- 除上述法定情形外，用人单位与劳动者还可以通过协商一致的方式订立无固定期限劳动合同。这种情况下，提出方可以是用人单位或劳动者中的任何一方，只要双方达成一致意见即可。
法律建议：
- 对于劳动者而言，如果满足签订无固定期限劳动合同的条件，可以主动向用人单位提出订立无固定期限劳动合同的要求，以保障自己的权益。
- 对于用人单位而言，应当了解并遵守相关法律法规，在满足条件时主动与劳动者订立无固定期限劳动合同，避免因此产生法律纠纷。
可能产生的法律后果：
- 如果用人单位在满足条件时未与劳动者订立无固定期限劳动合同，劳动者有权要求用人单位支付双倍工资或主张其他权益。
- 如果劳动者在满足条件时拒绝订立无固定期限劳动合同，而用人单位又无法提供其他合理的解释或证据，可能会面临法律上的不利后果。
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