当用人部门提出要辞退员工时，人力资源部应当采取以下步骤来妥善处理：

1. 核实辞退理由与依据：

   • 人力资源部首先需要与用人部门沟通，详细了解辞退员工的具体理由和依据。这包括员工是否存在严重违反公司规章制度、不胜任工作、严重失职或营私舞弊等行为，以及这些行为是否有充分的证据支持。
   • 法律依据：根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同应当有合法、合理的理由，并遵循法定程序。因此，人力资源部需要确保辞退理由符合法律要求，避免违法解除劳动合同的风险。

2. 审查劳动合同与规章制度：

   • 人力资源部应审查员工的劳动合同，确认其中关于解除劳动合同的条款和条件。同时，检查公司规章制度中关于辞退员工的规定，确保辞退行为符合公司内部规定。
   • 注意事项：如果劳动合同或规章制度中存在模糊或不明确的地方，人力资源部应及时与用人部门沟通，明确辞退的具体条件和程序，以避免后续纠纷。

3. 与员工进行沟通：

   • 在决定辞退员工之前，人力资源部应安排与员工进行面谈，告知其辞退的决定、理由和依据，并听取员工的陈述和申辩。
   • 沟通技巧：在沟通过程中，人力资源部应保持客观、公正的态度，尊重员工的权益和感受，避免激化矛盾。同时，应详细记录沟通过程，以备后续参考。

4. 办理辞退手续：

   • 如果经过沟通后，双方确认辞退决定无误，人力资源部应按照公司规定和法律法规的要求，办理辞退手续。这包括填写辞退通知书、办理工作交接、结算工资和福利等。
   • 手续要求：在办理辞退手续时，人力资源部应确保所有手续合法、合规，避免遗漏或错误。同时，应妥善保管相关文件和记录，以备后续查询和证明。

5. 考虑经济补偿与后续安排：

   • 根据《劳动合同法》的规定，如果用人单位违法解除劳动合同，可能需要向员工支付经济补偿金或赔偿金。因此，人力资源部在决定辞退员工时，应考虑是否需要支付经济补偿，并计算好具体金额。
   • 后续安排：除了经济补偿外，人力资源部还应考虑员工的后续安排，如提供职业介绍、培训等服务，帮助员工顺利过渡到新的工作环境。

6. 防范法律风险与纠纷：

   • 在整个辞退过程中，人力资源部应密切关注法律风险，确保所有行为都符合法律法规的要求。如果发生纠纷或争议，应及时与员工协商解决，或寻求法律途径解决。
   • 建议：为了降低法律风险，人力资源部可以定期组织员工进行劳动法律法规的培训和学习，提高员工的法律意识和合规意识。

总结来说，当用人部门提出要辞退员工时，人力资源部应核实辞退理由与依据、审查劳动合同与规章制度、与员工进行沟通、办理辞退手续、考虑经济补偿与后续安排，并防范法律风险与纠纷。如果你在处理此类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。