针对你提出的问题“品牌商品生产厂家授权过期后补授权书是否合法”，我给出如下解答：
结论前置：品牌商品生产厂家授权过期后补授权书的合法性，主要取决于授权过期后的具体情境以及补授权书的内容和形式是否符合相关法律法规的规定。一般来说，如果授权过期后，双方有意愿继续合作，并且补授权书的内容合法、形式合规，那么补授权书是合法的。
详细分析：
授权过期后的情境：
- 如果授权过期后，双方并未继续合作，或者没有就续签授权达成一致，那么此时补授权书可能无效，因为原授权已经终止，补授权书缺乏合法的基础。
- 如果授权过期后，双方仍有合作意愿，并且就续签授权进行了协商并达成一致，那么此时补授权书可以作为双方继续合作的法律依据，只要其内容合法、形式合规。
补授权书的内容和形式：
- 内容上，补授权书应明确授权的范围、期限、方式等关键条款，并且这些条款应符合相关法律法规的规定，不得侵犯他人的合法权益。
- 形式上，补授权书应具备合法的书面形式，并且由双方签字盖章确认，以确保其法律效力。
法律法规的约束：
- 在补授权书的过程中，双方应遵守相关法律法规的规定，如《民法典》、《商标法》等，确保补授权书的合法性和有效性。
- 如果补授权书涉及的知识产权等事项需要履行特定的法律手续（如商标转让、许可备案等），双方还应按照相关规定办理相关手续。
综上所述，品牌商品生产厂家授权过期后补授权书的合法性取决于多种因素，包括授权过期后的情境、补授权书的内容和形式以及法律法规的约束。因此，在补授权书之前，双方应充分协商并达成一致，确保补授权书的合法性和有效性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。