针对您提出的“公司虚开发票监事承担什么责任”这一问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，需要明确的是，公司虚开发票是一种严重的违法行为，它不仅损害了国家的税收利益，也破坏了市场的公平竞争环境。在这种行为中，监事作为公司治理结构中的重要一环，其责任是不可忽视的。
一、监事的基本职责
监事在公司中主要承担监督职责，包括对公司财务、业务执行情况以及董事、高级管理人员的行为进行监督。当公司出现虚开发票等违法行为时，监事有责任及时发现并制止，或者向相关部门报告。
二、监事可能承担的责任
行政责任：
- 如果监事未能履行其监督职责，导致公司虚开发票行为被税务机关查处，监事可能会受到税务机关的行政处罚，如罚款等。具体罚款金额会根据虚开发票的情节严重程度以及监事的过错程度来确定。
- 此外，监事的行为还可能影响公司的纳税信用等级，进而间接影响监事自身的职业声誉。
刑事责任：
- 在极端情况下，如果监事明知公司存在虚开发票行为，却故意隐瞒或参与其中，那么监事可能会构成共犯，面临刑事追责。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，虚开发票行为可能构成虚开增值税专用发票罪或虚开发票罪，监事作为共犯将受到相应的刑事处罚。
- 刑事处罚的严重程度取决于虚开发票的金额、情节以及监事在犯罪中的地位和作用。
民事责任：
- 如果因公司虚开发票导致第三方遭受损失，如合同对方因无法入账或产生经济损失而提起诉讼，监事作为公司治理结构中的一员，如果被认定存在过错，可能需要承担一定的民事赔偿责任。
- 民事赔偿的范围通常包括直接经济损失和合理的诉讼费用等。
三、监事的免责或减轻责任情形
- 如果监事能够证明自己已经履行了监督职责，且对虚开发票行为不知情或无法阻止，那么监事可能免于承担上述责任。
- 如果监事在发现虚开发票行为后及时采取了制止措施或向相关部门报告，那么监事的责任可能会得到减轻。
四、建议
- 作为监事，应时刻保持警惕，加强对公司财务和业务执行情况的监督，确保公司合法合规经营。
- 一旦发现公司存在虚开发票等违法行为，应立即采取制止措施，并向相关部门报告，以维护国家税收利益和市场的公平竞争环境。
综上所述，公司虚开发票时，监事可能承担行政责任、刑事责任和民事责任。因此，监事应严格履行其监督职责，确保公司合法合规经营，以避免不必要的法律风险。