结论前置：工伤私了协议不公正的情况下，您确实有可能重新启动劳动能力鉴定，但具体能否实现需视协议内容、签订时的具体情况以及是否满足法定撤销或变更条件而定。

详细分析：

1. 协议效力与撤销权：

   • 工伤私了协议，本质上是一种民事合同，其效力受《民法典》的调整。如果协议内容显失公平、存在重大误解或一方以欺诈、胁迫的手段使对方在违背真实意思的情况下签订，那么受损害方有权请求人民法院或者仲裁机构撤销该协议。
   • 在协议被撤销后，原协议自始无效，您可以基于原始的工伤事实，重新申请劳动能力鉴定，并据此主张相应的工伤赔偿。

2. 重新申请劳动能力鉴定的条件：

   • 即使协议未被撤销，如果您能证明在签订协议时，对自身的劳动能力状况存在重大误解（例如，当时未意识到伤情的严重性），或者协议签订后伤情发生了新的变化（如伤情恶化），您也可以尝试向劳动能力鉴定委员会提出重新鉴定的申请。
   • 但需要注意的是，重新鉴定的申请并非无条件接受，劳动能力鉴定委员会会根据您的具体情况、医疗证据以及相关法律法规进行综合判断。

3. 实际操作建议：

   • 收集证据：首先，您需要收集所有与工伤事故、治疗过程、协议签订相关的证据，包括医疗记录、协议文本、沟通记录等，以证明协议的不公正性或您对劳动能力状况的误解。
   • 咨询专业意见：在采取任何行动之前，建议您咨询专业的劳动法律师，他们可以根据您的具体情况，提供针对性的法律建议和操作方案。
   • 申请撤销或变更协议：如果律师认为协议存在可撤销或变更的情形，您可以向人民法院或仲裁机构提出申请，请求撤销或变更原协议。
   • 重新申请鉴定：在协议被撤销或变更后，或者您有充分证据证明需要重新鉴定时，您可以向劳动能力鉴定委员会提出重新鉴定的申请。

法律后果提示：

• 如果您成功撤销或变更了原协议，并重新进行了劳动能力鉴定，那么您将有权根据新的鉴定结果，主张相应的工伤赔偿。
• 但如果您的申请未被接受，或者重新鉴定的结果与原协议一致，那么您可能需要接受原协议的约束，或者通过其他途径（如协商、调解）解决争议。

总结与建议： 工伤私了协议不公正时，您确实有可能通过法律途径重新启动劳动能力鉴定。但这一过程可能涉及复杂的法律程序和证据收集，因此建议您在采取行动前，充分咨询专业律师的意见，以确保您的权益得到最大程度的保护。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。