关于刑事拘留后检察院法定不起诉，向法院申请国家赔偿的立案时间问题，一般来说，法院会在收到申请后的七日内决定是否立案。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据与立案流程

根据《中华人民共和国国家赔偿法》的相关规定，当公民因国家机关及其工作人员的违法行使职权而遭受损害时，有权向国家申请赔偿。在刑事案件中，如果检察院作出法定不起诉决定，意味着被拘留人并未构成犯罪，因此有权向法院申请国家赔偿。

法院在收到国家赔偿申请后，会进行初步审查。根据《最高人民法院关于国家赔偿案件立案工作的规定》，法院会在收到申请之日起七日内决定是否立案。如果法院认为申请符合立案条件，会予以立案并通知申请人；如果认为不符合立案条件，则会作出不予受理的决定，并说明理由。

二、影响立案时间的因素

虽然法律规定了七日的立案审查期限，但实际立案时间可能会受到多种因素的影响，包括但不限于：

1. 申请材料的完整性：如果申请人提交的申请材料不完整或存在瑕疵，法院可能会要求申请人补充材料，这可能会延长立案时间。
2. 法院的工作负荷：如果法院当前的工作负荷较重，可能会影响立案的效率。
3. 特殊情况的处理：如果申请涉及复杂的事实认定或法律适用问题，法院可能需要更多时间进行审查。

三、申请国家赔偿的建议

1. 准备完整的申请材料：在申请国家赔偿前，确保提交的材料完整、准确，包括赔偿申请书、相关证据材料等。
2. 了解立案流程：熟悉法院的立案流程和要求，以便在申请过程中能够配合法院的工作。
3. 及时跟进申请进展：在提交申请后，及时与法院沟通，了解申请的进展情况。

四、法律后果与救济途径

如果法院在七日内未作出立案决定或作出不予受理的决定，申请人可以依法向上一级法院申诉或寻求其他法律救济途径。同时，申请人也可以咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助。

如果您在申请国家赔偿过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据您的具体情况，提供专业的法律意见和帮助。