结论：在一家单位连续工作满14年后，当单位要求再签合同时，您有权根据自身情况和意愿选择是否签订，但需考虑不同选择可能带来的法律后果。

分析说明：

1. 有权拒绝签订的情况及后果：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同的签订应当遵循平等自愿、协商一致的原则。这意味着，您有权根据自己的意愿决定是否与单位续签劳动合同。
   • 后果：如果您选择拒绝签订，且单位没有违法解除劳动合同的行为，那么您与单位的劳动关系将自然终止。此时，单位应当按照法律规定向您支付经济补偿金，具体数额根据您在单位的工作年限和月工资标准来确定。

2. 有权要求签订无固定期限劳动合同的情况及后果：

   • 法律依据：同样根据《中华人民共和国劳动合同法》，如果您在单位连续工作满十年，且提出或者同意续订、订立劳动合同的，除您提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。在您已经连续工作满14年的情况下，这一规定同样适用。
   • 后果：如果您选择要求签订无固定期限劳动合同，且单位同意，那么您将与单位签订一份没有固定期限的劳动合同，这将为您的职业生涯提供更长期的保障。如果单位拒绝签订无固定期限劳动合同，而您又符合签订条件，那么单位可能构成违法解除劳动合同，需要承担相应的法律责任，包括支付赔偿金等。

3. 考虑签订固定期限劳动合同的情况及后果：

   • 个人选择：除了上述两种选择外，您还可以根据自身情况和职业规划，选择与单位签订固定期限劳动合同。这可能包括考虑个人的退休计划、职业发展机会、工作环境等因素。
   • 后果：如果您选择签订固定期限劳动合同，那么您将与单位约定一个具体的合同期限。在合同期限内，您和单位都需要履行合同约定的义务。合同到期后，您可以根据双方意愿和法律规定选择是否续签。

行动建议：

• 在做出决定前，建议您仔细考虑自己的职业规划、工作环境、薪资待遇等因素，以及单位提出的合同条款和条件。
• 如果您对合同条款有疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律意见。
• 无论您选择哪种方式，都建议您与单位进行充分的沟通和协商，以确保双方的权益得到保障。