离婚后夫妻私下写的关于一方去世后财产分配的协议，其法律效力需分情况讨论：
协议若被视为遗嘱性质：
- 如果该协议明确表达了一方去世后，其财产的一部分或全部归另一方所有的意愿，且符合遗嘱的法定形式要件（如自书遗嘱需由遗嘱人亲笔书写、签名，并注明年、月、日；代书遗嘱需有两个以上见证人在场见证等），那么该协议在遗嘱人去世后，可以按照遗嘱来处理其遗产。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百三十三条，自然人可以立遗嘱将个人财产指定由法定继承人中的一人或者数人继承，也可以立遗嘱将个人财产赠与国家、集体或者法定继承人以外的组织、个人。因此，如果协议符合遗嘱的构成要件，它是有法律效力的。
协议若被视为赠与合同性质：
- 如果协议是在一方在世时，双方就财产分配达成的合意，且该合意符合赠与合同的构成要件（如赠与人有赠与的意愿，受赠人表示接受赠与，且赠与的财产是赠与人合法所有的），那么该协议在双方签字或盖章后即具有法律效力。但需要注意的是，赠与合同在财产权利转移之前，赠与人可以撤销赠与（除经过公证的赠与合同或者依法不得撤销的具有救灾、扶贫、助残等公益、道德义务性质的赠与合同外）。
- 特殊情况：如果协议中涉及的财产是夫妻共同财产，且双方在离婚时并未对该财产进行分割，那么一方去世后，其份额应首先按照法定继承或遗嘱继承进行处理，而非直接按照该协议进行分配。因为此时，该协议可能侵犯了其他法定继承人的合法权益。
协议若存在无效情形：
- 如果协议存在违反法律、行政法规的强制性规定，或者违背公序良俗，或者一方以欺诈、胁迫的手段订立协议，损害国家利益，或者恶意串通，损害国家、集体或者第三人利益等情形，那么该协议是无效的。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一百四十三条，具备下列条件的民事法律行为有效：（一）行为人具有相应的民事行为能力；（二）意思表示真实；（三）不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗。如果协议违反了这些规定，那么它就是无效的。
建议：
- 如果你们希望该协议具有法律效力，建议明确协议的性质（是遗嘱还是赠与合同），并确保协议的内容符合相关法律的规定。
- 如果协议涉及的是夫妻共同财产，且双方在离婚时并未对该财产进行分割，建议先进行财产分割，再就各自份额的分配达成协议。
- 考虑到协议的法律效力和可执行性，建议咨询专业律师，对协议进行审查和修改，以确保其符合法律的要求。
总结：离婚后夫妻私下写的关于一方去世后财产分配的协议，其法律效力取决于协议的性质、内容以及是否符合相关法律的规定。因此，在签订此类协议时，务必谨慎对待，并咨询专业律师的意见。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。