劳动仲裁裁决撤销后，当事人可以向法院起诉。以下从法律依据、起诉条件及注意事项等方面进行详细分析：

一、法律依据

• 《中华人民共和国仲裁法》第九条：仲裁实行一裁终局的制度。裁决作出后，当事人就同一纠纷再申请仲裁或者向人民法院起诉的，仲裁委员会或者人民法院不予受理。但裁决被人民法院依法裁定撤销或者不予执行的，当事人就该纠纷可以根据双方重新达成的仲裁协议申请仲裁，也可以向人民法院起诉。这一规定同样适用于劳动争议仲裁。
• 《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第四十九条：用人单位有证据证明本法第四十七条规定的仲裁裁决有下列情形之一，可以自收到仲裁裁决书之日起三十日内向劳动争议仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销裁决。人民法院经组成合议庭审查核实裁决有前款规定情形之一的，应当裁定撤销。仲裁裁决被人民法院裁定撤销的，当事人可以自收到裁定书之日起十五日内就该劳动争议事项向人民法院提起诉讼。

二、起诉条件

1. 时效要求：当事人需在收到撤销仲裁裁决的裁定书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。这是法定的起诉期限，必须严格遵守，否则可能丧失胜诉权。
2. 受理范围：该劳动争议必须属于人民法院受理民事诉讼的范围，如工资支付、劳动合同解除、工伤赔偿等常见争议类型。
3. 诉讼请求与事实理由：起诉时应明确具体的诉讼请求和相关事实依据，确保起诉的合法性和有效性。例如，若因工资拖欠问题申请仲裁后裁决被撤销，起诉时应明确要求用人单位支付拖欠的工资及可能的赔偿金等。
4. 证据材料：需准备好充分的证据材料，以证明自己的主张具有事实和法律依据。证据可以包括劳动合同、工资条、工作记录、证人证言、医疗鉴定报告等。

三、注意事项

1. 地区差异：不同地区的具体法律规定和司法实践可能存在差异，在实际操作中应咨询当地的劳动法律专业人士或法院，以确保起诉的合法性和有效性。
2. 及时行使权利：当事人应密切关注仲裁和诉讼的时效要求，及时行使自己的权利，以免因延误而丧失法律保护。例如，若超过十五日的起诉期限才向人民法院提起诉讼，且不存在法定的时效中断、中止事由，人民法院将不予受理。
3. 重新仲裁的可能性：若仲裁裁决被撤销后，双方当事人均愿意通过仲裁解决争议，且能够重新达成仲裁协议，那么也可以考虑根据重新达成的仲裁协议再次申请仲裁。这是一种高效且灵活的解决方式。

四、举例说明

假设劳动者因工伤赔偿问题申请劳动仲裁，仲裁裁决后用人单位不服并向中级人民法院申请撤销裁决。中级人民法院经审查后裁定撤销了该仲裁裁决。此时，劳动者可以在收到裁定书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，要求用人单位给予相应的工伤赔偿。在起诉时，劳动者需要准备好工伤认定书、医疗鉴定报告、工资条等相关证据材料，以支持自己的诉讼请求。

综上所述，劳动仲裁裁决撤销后，当事人确实有权根据具体情况选择向人民法院提起诉讼。在具体操作中，应仔细考虑各种因素，并严格遵循相关法律法规和程序要求，以确保自身权益得到有效保护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。