当您遇到对方车辆肇事逃逸，并且已经成功记下车牌号时，您可以按照以下步骤来有效处理这一情况：
一、立即记录并确认车牌号及相关信息
保持冷静：在事故发生后，首要任务是保持冷静，不要惊慌失措。只有冷静下来，您才能更准确地观察和记录相关信息。
迅速且准确地观察：在确保自身安全的前提下，尽快观察逃逸车辆的车牌号码，并尽量记录下车辆的品牌、型号、颜色以及逃逸方向等细节信息。这些信息对于后续的调查和处理至关重要。
多种方式记录：除了用眼睛看之外，您还可以利用手机拍照或录像的方式记录车牌号和其他相关信息。这样，即使事后您忘记或记错某些细节，也有确凿的证据可查。
二、及时报警并提供详细信息
拨打报警电话：记下车牌号后，您应立即拨打当地交警部门的报警电话（如122），报告事故情况，并提供您所记录的车牌号及其他相关信息。
配合警方调查：在报警后，您需要积极配合交警部门的调查工作。提供尽可能多的线索和证据，如现场照片、视频、证人证言等，以便交警能够更快地找到逃逸车辆和驾驶员。
三、后续处理与注意事项
保留所有证据：在等待交警处理的过程中，您要妥善保管好所有与事故相关的证据材料。这些证据在后续处理中可能会起到关键作用，如确定事故责任、计算赔偿金额等。
了解法律程序：您可以事先了解一些基本的法律程序和规定，以便在处理过程中更好地维护自己的权益。例如，了解交通事故的处理流程、赔偿标准以及逃逸行为的法律责任等。
避免私了：在事故发生后，不要轻易与逃逸方进行私了。因为私了往往无法保障受害者的合法权益，而且可能会给后续的法律程序带来麻烦。您应该通过正规的法律途径来解决问题。
关注案件进展：在报警后，您可以定期向交警部门了解案件的进展情况。如果逃逸车辆和驾驶员被找到，您可能需要配合警方进行进一步的调查和处理工作。
综上所述，当您遇到对方车辆肇事逃逸并记下车牌号时，应立即记录并确认相关信息、及时报警并提供详细信息、妥善保留证据并了解法律程序、避免私了并关注案件进展。这些步骤将有助于您有效处理此类情况并维护自己的合法权益。