事业单位编外聘用人员能签署无固定期限合同，但需要满足一定的条件。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。同时，该法条还明确列出了应当订立无固定期限劳动合同的几种情形，这些情形同样适用于事业单位编外聘用人员：
劳动者在该用人单位连续工作满十年的：如果编外聘用人员在事业单位连续工作满十年，那么他们有权提出签订无固定期限劳动合同的要求。
特殊情形下的连续工作满十年：在用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，如果编外聘用人员已连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年，同样有权要求签订无固定期限劳动合同。
连续订立二次固定期限劳动合同后：如果编外聘用人员已经与事业单位连续订立了两次固定期限劳动合同，并且没有违反用人单位的规章制度或不能胜任工作等情形，那么在续订劳动合同时，他们也有权要求签订无固定期限劳动合同。
二、实际操作中的注意事项
协商一致原则：虽然法律规定了应当订立无固定期限劳动合同的情形，但最终是否签订还需要用人单位与劳动者协商一致。如果事业单位不同意签订无固定期限劳动合同，编外聘用人员可以通过劳动争议仲裁或诉讼等途径来维护自己的权益。
合同条款的明确性：在签订无固定期限劳动合同时，双方应明确约定工作内容、工作地点、工作时间、劳动报酬等关键条款，以避免未来可能出现的纠纷。
编外聘用人员的特殊性：虽然编外聘用人员与事业单位之间建立的是劳动关系，但他们在某些方面可能享受不到与在编人员相同的待遇。因此，在签订无固定期限劳动合同时，编外聘用人员应特别注意合同中的权益保障条款，确保自己的合法权益得到充分保障。
三、可能遇到的法律后果
如果事业单位违反法律规定，拒绝与符合条件的编外聘用人员签订无固定期限劳动合同，那么编外聘用人员有权向劳动争议仲裁机构或人民法院提起诉讼，要求事业单位承担相应的法律责任。根据《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》的相关规定，人民法院可以视为双方之间存在无固定期限劳动合同关系，并以原劳动合同确定双方的权利义务关系。
总结来说，事业单位编外聘用人员在满足一定条件的情况下，是有权要求签订无固定期限劳动合同的。如果你作为编外聘用人员，在签订无固定期限劳动合同过程中遇到任何问题或纠纷，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议和帮助。