若当事人未履行分期缴纳罚款的决定，行政机关或相关权利方需通过法定程序申请强制执行，具体流程如下：

1. 确认执行依据
   首先需明确罚款决定的合法性及生效状态。根据《行政处罚法》第72条，若当事人逾期不履行罚款决定，行政机关可采取加处罚款（每日按罚款数额的3%加收，但总额不超过原罚款数额）或申请法院强制执行。若罚款决定已生效（如当事人未在法定期限内申请复议或提起诉讼），则行政机关有权申请强制执行。

2. 催告程序前置
   根据《行政强制法》第54条，行政机关申请强制执行前，需向当事人送达《履行行政处罚决定催告书》，催告其10日内履行义务。催告书需载明履行义务的期限、方式及不履行的法律后果。若当事人在催告期满后仍不履行，行政机关方可申请强制执行。

3. 申请强制执行的主体与管辖

   • 行政机关申请：若罚款决定由行政机关作出（如市场监管局、环保局等），需向有管辖权的人民法院提出申请。根据《行政强制法》第53条，管辖法院通常为行政机关所在地或不动产所在地的基层法院（若罚款涉及不动产）。
     
   • 特殊情形：若法律明确授权行政机关自行强制执行（如税务机关对欠税的强制执行），则无需申请法院，可直接依职权执行。

4. 提交申请材料
   行政机关需向法院提交以下材料：

   • 强制执行申请书（载明当事人信息、罚款决定内容、催告情况及申请执行的事项）；
     
   • 罚款决定书及送达证明；
     
   • 催告书及送达回证；
     
   • 当事人意见（若催告期间当事人提出异议，需附处理情况说明）；
     
   • 其他证据材料（如罚款决定的法律依据、当事人财产状况等）。

5. 法院审查与执行

   • 形式审查：法院主要审查申请材料是否齐全、罚款决定是否合法有效、催告程序是否履行。
     
   • 实质审查：若法院认为罚款决定可能损害当事人合法权益，可要求行政机关补充证据或举行听证。
     
   • 执行裁定：法院审查通过后，会作出《行政裁定书》，准予强制执行，并由法院执行局负责具体执行措施（如查封、扣押、冻结财产，划拨存款等）。

6. 执行中的注意事项

   • 执行期限：行政机关需在当事人履行期满后3个月内申请强制执行，逾期法院可能不予受理。
     
   • 执行费用：强制执行费用由被执行人承担，法院可从执行款项中优先扣除。
     
   • 中止或终结情形：若当事人死亡且无遗产可供执行，或罚款决定被撤销，法院会裁定中止或终结执行。

若您是行政机关工作人员或相关权利方，需严格按照上述流程操作；若您是当事人，对强制执行有异议，可在收到执行通知后10日内向法院提出书面异议。如有进一步疑问，可直接向我咨询。