行政处罚分期缴纳最后一期未缴纳的，行政机关可以直接申请强制执行，但需满足法定条件并遵循法定程序。以下从多个角度详细分析：

1. 法律依据与强制执行条件

根据《中华人民共和国行政强制法》第五十三条，行政机关申请强制执行需满足两个核心条件：

• 期限条件：当事人在法定期限内（通常为60日）未申请行政复议，或未在6个月内提起行政诉讼，且未履行行政处罚决定。
• 催告程序：行政机关需在申请强制执行前，向当事人送达《履行行政处罚决定催告书》，催告其10日内履行义务。若当事人逾期仍不履行，行政机关方可申请强制执行。

关键点：若最后一期未缴纳时，前述期限条件和催告程序均已满足（例如，分期缴纳协议已到期且催告后仍不履行），行政机关可直接申请强制执行。

2. 分期缴纳协议的特殊性

若行政机关与当事人签订了分期缴纳协议，需注意：

• 协议效力：分期缴纳协议是行政处罚决定的补充约定，具有法律效力。若当事人未按协议履行最后一期，属于违反行政处罚决定的行为。
• 程序衔接：行政机关无需重新作出处罚决定，但需在催告书中明确指出当事人违反分期缴纳协议的事实，并要求其立即履行剩余款项。

示例：若分期缴纳协议约定最后一期缴纳时间为2023年12月31日，行政机关可在2024年1月1日催告，若10日内仍未缴纳，即可申请强制执行。

3. 强制执行的申请主体与管辖

• 申请主体：作出行政处罚决定的行政机关（如市场监管局、环保局等）为申请主体。
• 管辖法院：根据《行政强制法》第五十四条，向有管辖权的人民法院（通常为行政机关所在地基层法院）提出申请。

4. 当事人的救济途径

若当事人对强制执行申请有异议，可通过以下方式救济：

• 执行异议：在强制执行过程中，向法院提出书面异议，法院需在15日内审查并作出裁定。
• 复议或诉讼：若认为行政处罚决定或强制执行行为违法，可在法定期限内申请行政复议或提起行政诉讼。

5. 实务建议

• 对行政机关：
  1. 确保分期缴纳协议明确约定各期缴纳时间、金额及违约责任；
  2. 严格履行催告程序，保留送达证据（如签收回执、公证送达等）；
  3. 申请强制执行时，提交行政处罚决定书、分期缴纳协议、催告书及送达证明等材料。
• 对当事人：
  1. 若因客观原因无法按时缴纳最后一期，应及时与行政机关协商延期或分期；
  2. 若对处罚决定有异议，应在法定期限内申请复议或诉讼，而非通过拒缴拖延。

总结：行政处罚分期缴纳最后一期未缴纳的，行政机关在满足期限条件和催告程序后，可直接申请强制执行。当事人若对执行有异议，需通过法定途径救济。如有具体案件细节需进一步分析，可随时向我咨询。