针对您提出的“批准延期分期缴纳罚款的申请什么强制执行的期限”这一问题，以下是我为您提供的清晰、详细且有深度的解答：

一、核心结论

行政机关在批准延期、分期缴纳罚款后，申请强制执行的期限是从暂缓或者分期缴纳罚款的期限结束之日起计算。

二、法律依据与详细分析

1. 法律依据：

   • 《中华人民共和国行政处罚法》第七十二条第二款明确规定：“经批准延期、分期缴纳罚款的，申请人民法院强制执行的期限，自暂缓或者分期缴纳罚款期限结束之日起计算。”
   • 《行政强制法》第五十三条也涉及了相关内容，规定了行政机关申请人民法院强制执行的条件及时限。

2. 详细分析：

   • 若行政机关在批准延期、分期缴纳罚款时没有另行明确最终的履行期限，则申请强制执行的期限仍然从原罚款决定的履行期限届满之日起计算。
   • 若行政机关在批准决定中另行规定了最终的履行期限，则申请强制执行的期限从该另行规定的履行期限届满之日起计算。

3. 相关期限的进一步说明：

   • 根据《行政强制法》及相关法律规定，如果当事人在法定期限内不申请行政复议或提起行政诉讼，又不履行行政决定的，行政机关可以在期限届满之日起3个月内申请人民法院强制执行。
   • 在申请强制执行前，行政机关还需要履行催告程序，即催告当事人履行义务。催告书送达十日后，当事人仍未履行义务的，行政机关方可申请强制执行。

三、实际操作与建议

• 在实际操作中，行政机关应充分考虑当事人的经济状况和支付能力，合理确定延期或分期的期限。
• 为避免申请执行超期的风险，行政机关应与属地人民法院保持密切沟通，确保在申请强制执行时不会因期限问题而受阻。
• 当事人也应积极配合行政机关的工作，按时履行缴纳罚款的义务，以避免不必要的法律纠纷。

综上所述，批准延期、分期缴纳罚款后申请强制执行的期限是从暂缓或者分期缴纳罚款的期限结束之日起计算。这一规定既体现了法律对当事人经济困难的关怀，又确保了行政处罚决定的依法履行和法律的严肃性、权威性。希望以上解答能够对您有所帮助。