关于您提出的“分期缴纳罚款未履行行政机关申请执行的时间”问题，这是一个涉及行政法律程序的重要议题。以下是我为您提供的详细解答：

一、一般申请执行期限

根据《行政强制法》第五十三条的规定，当事人在法定期限内既不申请行政复议也不提起行政诉讼，同时又不履行行政决定的，没有行政强制执行权的行政机关可以在该法定期限届满之日起三个月内，依法向人民法院申请强制执行。这里的“法定期限”主要指的是：

• 行政复议申请期限：通常为当事人自知道该具体行政行为之日起六十日内（若法律规定的申请期限超过六十日，则按更长期限执行）。
• 行政诉讼起诉期限：一般为当事人自知道或者应当知道作出行政行为之日起六个月内（若法律另有特别规定，则从其规定）。

因此，行政机关需等待上述两个法定期限均届满后，若当事人仍未履行分期缴纳的行政处罚决定，方可在三个月内向法院提出强制执行申请。

二、分期缴纳协议中的特殊考量

当行政机关与当事人达成分期缴纳罚款的协议时，申请强制执行的期限和程序会有一些特殊考量：

1. 每期缴纳时间的遵守：协议中应明确约定每期罚款的缴纳时间。若当事人某一期未按时缴纳，行政机关并不能立即申请强制执行，而是需要等待该期罚款对应的行政复议和行政诉讼法定期限届满后，方可针对未缴纳部分向法院提出申请。

2. 明显不履行后续义务的情况：若当事人通过明确表示或实际行为展现出其不打算履行后续分期缴纳义务的态度，行政机关在相应的复议和诉讼期限届满后，有权就剩余全部未缴纳部分向法院申请强制执行。

三、实际操作中的注意事项

1. 仔细阅读协议：当事人应仔细阅读并理解处罚决定书及分期缴纳协议中的各项条款，特别是关于缴纳期限和逾期后果的规定。

2. 按时缴纳罚款：当事人应严格按照协议约定的时间和金额进行缴纳，以避免不必要的法律风险。

3. 及时沟通：若因特殊原因无法按时缴纳，当事人应及时与行政机关沟通并寻求解决方案，以尽量避免强制执行程序的发生。

四、法律条文参考

• 《行政强制法》第五十三条：当事人在法定期限内不申请行政复议或者提起行政诉讼，又不履行行政决定的，没有行政强制执行权的行政机关可以自期限届满之日起三个月内，依照本章规定申请人民法院强制执行。
• 最高人民法院关于执行《中华人民共和国行政诉讼法》若干问题的解释第八十八条：行政机关申请人民法院强制执行其具体行政行为，应当自被执行人的法定起诉期限之日起180日内提出。逾期申请的，除有正当理由外，人民法院不予受理。

综上所述，分期缴纳罚款未履行时，行政机关申请执行的时间主要取决于行政复议和行政诉讼的法定期限，以及分期缴纳协议中的具体约定。当事人和行政机关均应充分了解并遵守相关规定，以确保行政执法的公正性和合法性。