结论：合同过期但业务仍正常运行的情况下，不建议先开结算发票再补签合同，这种做法存在法律风险，但根据具体情况可采取不同应对措施。以下从法律风险和实务操作两个角度展开分析：

一、法律风险角度：先开发票后补合同可能引发以下问题

1. 发票合规性风险
   根据《发票管理办法》第十九条，发票开具需以真实交易为基础。若合同已过期且未续签，业务关系可能被认定为”无合同状态”，此时开具发票可能被税务机关认定为”虚开发票”（即使业务真实存在），面临行政处罚（如罚款）甚至刑事责任风险。

2. 付款义务争议风险
   若补签合同时对付款条件（如结算周期、违约金）进行修改，对方可能以”发票已开具”为由主张已履行付款义务，或要求按新合同条款执行，导致双方对付款金额、时间产生争议。

3. 税务稽查风险
   税务机关在稽查时，会重点核查发票与合同的匹配性。若发现合同过期后仍持续开具发票，可能要求企业补缴税款、滞纳金，甚至调整企业纳税信用等级。

二、实务操作角度：建议采取以下合规方案

1. 优先补签合同再开发票

   • 操作步骤：
     （1）双方协商续签合同，明确业务范围、价格、结算方式等核心条款；
     （2）合同生效后，根据实际交易金额开具发票；
     （3）保留合同、送货单、验收单等证据链。
     
   • 优势：完全符合《民法典》合同编及税务法规要求，风险最低。

2. 若急需结算，可采取临时措施

   • 方案一：签订补充协议
     在原合同基础上签订补充协议，延长合同期限或明确”合同到期后自动续期”条款，再开发票。
     
   • 方案二：发送书面确认函
     通过邮件、函件等形式，由双方确认”合同到期后仍按原条款继续履行”，并附上业务明细清单，作为开发票的依据。
     
   • 注意：临时措施仅作为过渡方案，仍需尽快补签正式合同。

三、特殊情形处理

若对方拒绝补签合同，需评估业务风险：

1. 若业务金额较小：可要求对方出具《情况说明》，载明”因业务连续性需要，同意在合同到期后继续履行，并认可发票金额”，降低争议风险。
   
2. 若业务金额较大：建议暂停业务，通过法律途径（如发送律师函）要求对方配合补签合同，否则可能面临合同终止、赔偿损失等后果。

总结：合同过期后继续业务，务必优先通过补签合同或补充协议明确权利义务，再开具发票。若您遇到具体操作难题，可直接向我咨询，我会结合业务细节提供定制化解决方案。