运输公司和司机不签劳动合同是不合法的。以下从多个角度对此问题进行详细分析：

一、法律依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条：“建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。”这一条款明确规定了用人单位与劳动者建立劳动关系时，必须签订书面劳动合同，且给出了签订劳动合同的法定期限。

二、违法后果

1. 支付双倍工资差额：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定旨在保护劳动者的合法权益，防止用人单位通过不签订劳动合同来规避法律责任。
   • 赔偿计算：该赔偿从用工满一个月的次日起算，最多支付11个月。例如，司机于2023年1月1日入职，至2023年11月30日仍未签订劳动合同，则公司应支付双倍工资的期间为2023年2月1日至2023年11月30日，共10个月（首月为宽限期）。

2. 视为订立无固定期限劳动合同：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。此时，运输公司应当履行无固定期限劳动合同的义务，包括为司机提供稳定的工作岗位和相应的福利待遇等。
   • 法律后果：一旦视为订立无固定期限劳动合同，公司不能随意解除劳动关系，否则需承担违法解除劳动合同的法律责任，包括但不限于支付经济补偿金。

3. 经济补偿金：

   • 若因未签订劳动合同导致司机被违法解除劳动合同，或司机因此主动离职，公司需按《劳动合同法》第四十七条支付经济补偿金。
   • 计算方式：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。本条所称月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

4. 行政责任：

   • 对于持续违法且拒不改正的运输公司，劳动行政部门可能会采取罚款等行政处罚措施，以督促其遵守法律法规。

三、维权途径

1. 协商：司机应首先尝试与公司进行友好协商，要求公司支付相应的赔偿并签订书面劳动合同。
2. 证据收集：在维权过程中，司机需收集并保留能证明与公司存在事实劳动关系的证据，如工作证、工资支付记录、考勤记录、派车单、同事证言等。
3. 仲裁/诉讼：若协商无果，司机可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁；对仲裁结果不满意的，还可向人民法院提起诉讼。

四、实际案例与风险提示

在实际案例中，已经有多起运输公司因未依法与司机签订劳动合同而被判罚的案例。这些案例表明，法律对于保护劳动者权益的态度是明确的，任何违反法律规定的行为都将受到法律的制裁。因此，运输公司应严格遵守法律法规，及时与司机签订书面劳动合同，以避免不必要的法律风险和经济损失。

综上所述，运输公司和司机不签劳动合同是不合法的，司机有权要求公司支付双倍工资、视为订立无固定期限劳动合同，并在特定情况下获得经济补偿金及补缴社保等权益。司机应通过收集证据、协商、仲裁和诉讼等途径维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。