行政复议被申请人履行法定职责的方式主要包括以下几种：

1. 直接履行：

   • 当行政复议申请中明确指出被申请人未履行某项具体法定职责时，被申请人应当直接履行该职责。例如，若申请人因行政机关未颁发许可证而申请复议，行政机关在复议过程中或复议决定后，应直接为申请人颁发许可证（若符合颁发条件）。

2. 纠正错误行为：

   • 若被申请人的行政行为存在违法或不当之处，且该行为是导致申请人申请复议的原因，被申请人应在复议过程中或复议决定后，主动纠正其错误行为。这可能包括撤销、变更或重新作出行政行为等。例如，若行政机关错误地吊销了申请人的营业执照，复议过程中或复议决定后，行政机关应撤销该吊销决定，恢复申请人的营业执照（若符合恢复条件）。

3. 采取补救措施：

   • 在某些情况下，即使被申请人已经履行了法定职责，但因其履行方式不当或存在瑕疵，给申请人造成了损失或不便，被申请人也应采取补救措施。这可能包括赔偿损失、恢复原状、消除影响等。例如，若行政机关在执法过程中损坏了申请人的财物，复议过程中或复议决定后，行政机关应赔偿申请人的损失。

4. 答复与说明：

   • 对于申请人的复议申请，被申请人有义务进行答复和说明。这包括解释其行政行为的依据、理由和程序，以及为何认为其行政行为是合法和适当的。通过答复和说明，被申请人可以增进与申请人的沟通，消除误解和疑虑，从而有助于复议案件的妥善解决。例如，若申请人对行政机关的处罚决定不服而申请复议，行政机关应在复议过程中详细说明处罚的依据、理由和程序，以及为何认为处罚决定是合法和适当的。

法律背景与建议：

• 法律背景：根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，被申请人作为行政机关，在行政复议过程中有义务履行其法定职责，包括直接履行、纠正错误行为、采取补救措施以及答复与说明等。这些义务是保障申请人合法权益、维护行政法治秩序的重要体现。
• 法律建议：对于申请人而言，在申请行政复议时，应明确指出被申请人未履行或不当履行的法定职责，并提供相关证据和理由。对于被申请人而言，在收到复议申请后，应认真审查申请内容，及时履行或纠正其法定职责，并积极与申请人进行沟通协商，以寻求妥善解决复议案件的途径。

可能法律后果：

• 若被申请人未按照复议决定履行其法定职责，申请人可以依法向人民法院提起行政诉讼，要求法院强制被申请人履行职责或承担相应的法律责任。同时，被申请人还可能面临上级行政机关的监督和问责，以及社会舆论的谴责和批评。因此，被申请人应认真对待行政复议申请，积极履行其法定职责，以维护行政法治秩序和自身形象。

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