关于总监请假条是否需要公章的问题，这主要取决于具体单位或组织的请假制度规定。不过，我可以根据一般情况和您提供的参考信息，给出一个较为全面的解答。

首先，我们需要明确的是，请假条作为一种正式的书面申请，其目的在于向上级或相关部门说明请假的原因、时间等，并请求批准。在大多数情况下，请假条需要经过一定的审批流程，以确保请假的合理性和合规性。

对于总监这一级别的管理人员，其请假条是否需要公章，往往取决于单位或组织的内部规定。一些单位或组织可能要求所有请假条，无论级别高低，都需要加盖公章或相关负责人的签字，以作为请假有效的证明。这种做法有助于确保请假的正式性和严肃性，同时也便于单位或组织进行统一管理和记录。

然而，也有一些单位或组织可能根据请假人员的级别和请假时间的长短，对请假条的审批流程进行差异化处理。例如，对于高级管理人员如总监的短期请假，可能只需要相关负责人的签字即可；而对于长期请假或涉及重要工作的请假，则可能需要加盖公章或经过更高级别的审批。

结合您提供的参考信息，我们可以看到，无论是市体育局还是南阳镇机关，都强调了请假必须履行书面手续，并经过一定的审批流程。虽然这些规定中并未明确提及总监请假条是否需要公章，但我们可以推断，在大多数情况下，为了确保请假的正式性和有效性，总监的请假条很可能也需要经过相应的审批并加盖公章或相关负责人的签字。

因此，我建议您在提交总监请假条时，先了解清楚所在单位或组织的请假制度规定，按照规定的流程进行申请和审批。如果规定中明确要求加盖公章或相关负责人的签字，那么请务必按照要求办理，以确保请假的合规性和有效性。如果规定中未明确提及，但您对此有疑问或不确定，也可以咨询相关部门或负责人以获取更准确的解答。