结论前置：手指骨折后，即使用人单位已经给予了初步治疗，您仍然有权申请工伤认定，并进一步申请工伤赔偿。

详细分析：

1. 工伤认定的基本条件：

   • 根据《工伤保险条例》的规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。手指骨折显然属于因工作原因受到的事故伤害，因此符合工伤认定的基本条件。

2. 用人单位的初步治疗不影响工伤认定：

   • 用人单位在事故发生后给予员工初步治疗，是其应尽的义务和责任，但这并不影响员工后续申请工伤认定的权利。工伤认定是由社会保险行政部门根据相关法律法规进行的，与用人单位的初步治疗行为无关。

3. 申请工伤认定的流程：

   • 您需要在事故发生之日起一年内，向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。申请时，需要提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料、医疗诊断证明或者职业病诊断证明书（或者职业病诊断鉴定书）等材料。

4. 工伤赔偿的申请：

   • 一旦工伤认定成功，您就有权根据工伤等级享受相应的工伤保险待遇，包括医疗费、停工留薪期工资、护理费、一次性伤残补助金等。如果用人单位未依法缴纳工伤保险费，那么这些费用将由用人单位承担。

5. 注意事项：

   • 在申请工伤认定和赔偿的过程中，您需要保留好所有相关的医疗记录和费用单据，以便在后续的申请和维权过程中使用。
   • 如果用人单位对工伤认定或赔偿有异议，他们可能会提出行政复议或行政诉讼。在这种情况下，您需要积极应对，维护自己的合法权益。

法律建议：

• 如果您手指骨折后，用人单位已经给予了初步治疗，但您仍然希望申请工伤认定和赔偿，那么建议您尽快收集相关证据材料，并按照规定的流程向社会保险行政部门提出申请。
• 如果您在申请过程中遇到任何困难或问题，比如用人单位不配合、社会保险行政部门拖延处理等，您可以及时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。

可能法律后果：

• 如果您未能在规定的时间内提出工伤认定申请，那么您可能会失去享受工伤保险待遇的权利。
• 如果用人单位未依法缴纳工伤保险费，并且拒绝承担工伤赔偿费用，那么您可能需要通过法律途径来维护自己的合法权益，这可能会涉及诉讼等法律程序。