结论前置：工作了13个月未签劳动合同，您完全可以申请劳动仲裁，并且这种情况在法律上是有明确依据和相应赔偿规定的。

法律背景与依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。如果用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定是为了保护劳动者的合法权益，确保劳动关系的明确和稳定。

具体分析与建议

1. 申请劳动仲裁的合法性：

   • 您已经工作了13个月，但用人单位未与您签订书面劳动合同，这明显违反了《劳动合同法》的规定。
   • 您有权向劳动仲裁机构申请仲裁，要求用人单位支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额。

2. 双倍工资差额的计算：

   • 根据法律规定，双倍工资差额的计算是从用工之日起满一个月的次日开始，至补订书面劳动合同的前一日或者劳动关系终止之日止。
   • 在您的情况下，如果假设您的月工资为X元，那么您有权要求用人单位支付从第二个月开始至第13个月（共12个月）的双倍工资差额，即12X元（但需注意，实际仲裁中可能根据具体情况有所调整，如已支付部分工资等）。不过，更准确的计算方式是，从第二个月起算至第13个月，每个月都应支付双倍工资，但实际操作中，第一个月的正常工资已经支付，所以差额部分是11个月的工资（如果以第13个月为终止点且未补签合同的话，但通常计算至应签而未签的最后一个月）。不过，为了简化理解，这里我们强调的是您有权获得额外的一倍工资作为赔偿，具体月份数需根据实际情况确定，但肯定不少于从第二个月开始的月份。
   • 计算公式（以简化理解为目的）：若月工资为X，则双倍工资差额至少为 \(11 imes X\)（实际可能根据具体情况有所调整）。

3. 申请劳动仲裁的流程：

   • 您需要准备相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明您与用人单位存在劳动关系以及您的工资水平。
   • 然后，向当地的劳动仲裁机构提交仲裁申请，并按照仲裁机构的流程进行后续操作。

4. 其他注意事项：

   • 在申请仲裁前，您可以尝试与用人单位进行协商，看是否能够达成和解。
   • 如果仲裁结果不满意，您还可以向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。

可能的法律后果

• 如果用人单位在仲裁或诉讼过程中仍然拒绝支付双倍工资差额，那么仲裁机构或法院将会作出裁决或判决，要求用人单位支付相应的款项。
• 用人单位还可能面临其他法律责任，如被劳动行政部门责令改正、罚款等。

彭舒怡律师提醒：工作了13个月未签劳动合同，您完全有权申请劳动仲裁并要求用人单位支付双倍工资差额。如果您在申请过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供更详细、更专业的法律建议。