公立学校不能仅因教师被污蔑后反告家长就辞退教师，这一行为通常缺乏合法依据，但具体还需结合实际情况判断。以下从不同角度进行分析：

一、公立学校辞退教师的法定条件

根据《中华人民共和国劳动合同法》以及《事业单位人事管理条例》等相关法律法规，公立学校作为事业单位，其辞退教师（即解除聘用合同）必须符合法定的条件和程序。这些条件通常包括：

1. 教师严重违反用人单位的规章制度：这要求规章制度本身合法、合理，且教师确实存在严重违反的行为。
2. 教师严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害：这要求教师的行为与损害结果之间存在直接的因果关系，且损害结果达到重大程度。
3. 教师同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正：这要求教师存在兼职行为，且该行为对原工作造成了实质性影响。
4. 教师被依法追究刑事责任：这是最严重的情形，要求教师因犯罪行为被法院判处刑罚。

在教师被污蔑后反告家长的情况下，除非这一行为同时满足了上述法定条件中的某一项或多项，否则公立学校不能仅凭此就辞退教师。

二、教师被污蔑后反告家长的性质

教师被污蔑后反告家长，通常属于教师维护自身合法权益的行为。如果污蔑行为确实存在，且对教师的名誉、权益等造成了损害，教师有权通过法律途径追究家长的责任。这一行为本身并不构成公立学校辞退教师的合法理由。

三、公立学校可能面临的法律风险

如果公立学校在没有合法依据的情况下辞退教师，可能面临以下法律风险：

1. 违法解除聘用合同的责任：根据《事业单位人事管理条例》等规定，公立学校违法解除聘用合同的，应当承担继续履行合同、支付赔偿金等法律责任。
2. 侵犯教师名誉权、荣誉权等权益的责任：如果辞退行为对教师的名誉、荣誉等造成了损害，公立学校还可能面临侵犯教师人格权的法律责任。

四、建议与措施

1. 公立学校应谨慎处理：在面对教师被污蔑后反告家长的情况时，公立学校应谨慎处理，避免仅凭此就作出辞退决定。应当首先调查核实情况，了解事实真相，再根据法律法规和规章制度作出合理决策。
2. 教师可依法维权：如果教师认为公立学校的辞退决定违法或不合理，可以通过法律途径维护自己的合法权益，如申请劳动仲裁、提起诉讼等。

综上所述，公立学校不能仅因教师被污蔑后反告家长就辞退教师。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。