1. 关于教师是否有权要求学校进行公诉的问题：

   • 首先，需要明确的是，“公诉”通常是指由检察机关代表国家对犯罪嫌疑人提起的诉讼，它主要适用于刑事案件。在教师因工作原因受到家长威胁的情况下，这通常不构成刑事犯罪（除非威胁行为达到了刑法规定的犯罪标准，如构成恐吓罪等），因此，从严格意义上讲，教师不能直接要求学校进行“公诉”。
   • 然而，教师有权要求学校采取措施保护其人身安全和合法权益。学校作为教育机构，有责任为教师提供一个安全、和谐的工作环境。如果教师受到家长的威胁，学校应当积极介入，采取必要的措施，如与家长沟通、报警（如果威胁行为严重到需要警方介入的程度）、为教师提供心理支持等。

2. 关于教师如何维护自身权益的建议：

   • 收集证据：如果教师受到家长的威胁，应当尽可能收集相关证据，如威胁的言语记录、短信、邮件等，以便在需要时证明威胁行为的存在。
   • 与学校沟通：教师应当及时向学校报告威胁情况，要求学校采取措施保护其人身安全和合法权益。学校应当积极响应，并采取相应的措施。
   • 报警处理：如果威胁行为严重到可能构成犯罪的程度，或者教师感到自身安全受到严重威胁，应当立即报警，由警方介入处理。
   • 寻求法律援助：如果教师认为自己的权益受到了严重侵害，可以寻求法律援助，通过法律途径维护自己的权益。

3. 关于学校责任的分析：

   • 学校作为教育机构，有责任为教师提供一个安全、和谐的工作环境。如果教师因工作原因受到家长的威胁，学校应当积极介入，采取必要的措施保护教师的人身安全和合法权益。
   • 如果学校未能履行其责任，导致教师受到伤害或权益受到侵害，教师有权要求学校承担相应的法律责任。

综上所述，教师因工作原因受到家长威胁时，不能直接要求学校进行“公诉”，但有权要求学校采取措施保护其人身安全和合法权益。如果威胁行为严重到可能构成犯罪的程度，或者教师感到自身安全受到严重威胁，应当立即报警处理。同时，教师也可以寻求法律援助，通过法律途径维护自己的权益。如果您有进一步的法律问题或需要更具体的建议，请直接向我咨询。