在工伤私了期间，如果停工留薪期到了，您应该根据以下几个步骤来妥善处理后续事宜，以确保自身权益得到充分保障：
一、确认停工留薪期结束时间
首先，您需要明确停工留薪期的正式结束时间。这通常是根据医生的建议和劳动能力鉴定机构的评估来确定的。确保您对这个时间有清晰的了解，以便后续行动。
二、评估自身身体状况
身体恢复可复工：如果您的身体已经恢复，能够胜任原工作或者新安排的工作，那么您应该及时与用人单位沟通复工计划。这包括复工的时间、岗位以及工作内容等，并按照公司的规章制度办理复工手续。
身体未恢复需继续治疗：如果您的伤情尚未痊愈，需要继续治疗或休养，那么您应该准备相关的医疗证明和诊断报告。这些证明将有助于您申请延长停工留薪期或者按照病假等其他规定进行处理。
三、申请延长停工留薪期（如需）
如果您的停工留薪期需要延长，您应该在停工留薪期满前，向市级劳动能力鉴定委员会提交延长申请。申请时，您需要提供医疗机构出具的相关证明材料，以证明您确实需要继续治疗或休养。等待鉴定结果期间，您应遵循医嘱继续治疗。如果申请被批准，您将享受延长期内的停工留薪待遇；如果申请未被批准，您则需要按照其他规定进行处理。
四、进行劳动能力鉴定（视情况）
停工留薪期满后，如果您的伤情已经稳定，但存在残疾或影响劳动能力的情况，那么您应该进行劳动能力鉴定。鉴定申请可以由用人单位、工伤职工或其近亲属向市级劳动能力鉴定委员会提出，并提交工伤认定决定和工伤医疗资料。鉴定结论将作为您享受工伤保险待遇的重要依据，如一次性伤残补助金、伤残津贴等。
五、与用人单位协商处理后续事宜
复工与岗位调整：根据您的身体状况和劳动能力鉴定结果，与用人单位协商复工或岗位调整事宜。如果您的身体状况允许，用人单位应安排您恢复原来的工作岗位或根据您的实际情况调整到合适的工作岗位。
赔偿事宜：如果您的伤情导致了残疾或影响了劳动能力，您应该与用人单位协商赔偿事宜。赔偿标准和流程应依据《工伤保险条例》的相关规定执行。如果协商无果，您可以咨询当地社保部门或劳动局以了解详细情况，并考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。
六、法律援助与权益维护
在整个处理过程中，如果您遇到任何困难或问题，或者用人单位未按规定处理相关事宜，您应该寻求法律援助或咨询专业的律师来帮助维护自己的合法权益。保留好与公司的所有沟通记录和相关证据，以备不时之需。
总之，工伤停工留薪期到期后，您应根据自身实际情况和用人单位的沟通情况做出合适决策。在整个过程中，保持与用人单位的良好沟通，及时了解并遵守相关法律法规和政策规定，是确保自身权益得到妥善处理的关键。如有需要，寻求专业律师的帮助将是明智的选择。