核心结论：刑事犯罪案件中，若犯罪嫌疑人或被告人因心梗死亡，赔偿款的处理需分情况讨论，主要涉及刑事附带民事赔偿的终止与民事赔偿的独立性。以下是具体分析：

1. 刑事附带民事赔偿的终止
   根据《刑事诉讼法》第16条，若犯罪嫌疑人、被告人死亡，刑事诉讼程序终止，刑事附带民事赔偿部分也随之终止。这意味着，若心梗死亡发生在刑事诉讼过程中（如侦查、审查起诉、审判阶段），被害人或其家属无法通过刑事附带民事诉讼程序要求赔偿。但需注意：

   • 若死亡前已达成刑事和解或赔偿协议，且赔偿义务人已部分履行，剩余部分可能因主体灭失而无法强制执行；
     
   • 若死亡前未达成协议，被害人或家属需通过独立民事诉讼主张权利。

2. 民事赔偿的独立性：可另行起诉
   刑事责任的终止不影响民事赔偿的独立性。根据《民法典》第1165条，若犯罪嫌疑人的行为构成民事侵权（如故意伤害、过失致人重伤等），其遗产继承人需在继承遗产范围内承担赔偿责任。具体流程为：

   • 确定遗产范围：需先通过继承程序明确死亡者的遗产（如房产、存款、车辆等）；
     
   • 起诉继承人：以遗产继承人为被告，向法院提起民事侵权诉讼，要求赔偿医疗费、丧葬费、死亡赔偿金等；
     
   • 执行限制：赔偿金额以遗产实际价值为限，若遗产不足，超出部分无法强制执行。

3. 特殊情形：单位或雇主的责任
   若心梗死亡与犯罪行为无关（如犯罪嫌疑人在羁押期间因看守所管理不当导致心梗），可能涉及国家赔偿或雇主责任：

   • 羁押期间死亡：根据《国家赔偿法》第17条，若看守所、监狱等机关存在过错（如未及时救治），家属可申请国家赔偿；
     
   • 执行职务期间死亡：若犯罪嫌疑人系单位员工，且心梗与职务行为有关（如过度劳累），单位可能需承担工伤赔偿责任。

行动建议：

• 立即收集证据（如医疗记录、死亡证明、侵权行为证据）；
  
• 咨询律师，评估案件是否符合民事赔偿或国家赔偿条件；
  
• 若涉及遗产继承，需同步启动继承程序，明确赔偿义务主体。
  

如有进一步疑问，可直接向我提问，我将结合具体案情提供详细方案。