结论：借用公司公章签订协议时，公司和借用人可能承担的责任方式主要包括共同承担责任、公司单独承担责任或借用人单独承担责任，具体取决于借用行为的性质、公司的过错程度以及协议的实际履行情况等多种因素。以下是对这些责任方式的详细分析：
一、共同承担责任
表见代理情形：
- 如果借用人以公司的名义，使用公司公章签订协议，且相对方有理由相信借用人有代理权（例如，借用人曾多次代表公司签订类似协议，或公司未对公章使用进行严格管理），则可能构成表见代理。
- 在表见代理情形下，公司需对协议承担法律责任，同时，如果借用人存在过错（如故意或过失导致公司受损），公司有权向借用人追偿。但对外而言，公司和借用人可能需共同对相对方承担责任，具体责任划分可能依据内部协议或法院判决。
共同故意或过失：
- 如果公司和借用人存在共同故意或过失，导致协议签订或履行过程中出现问题，如协议内容违法、损害第三方利益等，则公司和借用人可能需共同承担责任。
二、公司单独承担责任
公司授权或管理不善：
- 如果公司明确授权借用人使用公章签订协议，或公司对公章管理不善导致借用人能够轻易获取并使用公章，且协议内容合法有效，则公司需单独对协议承担法律责任。
- 在此情况下，借用人可能不承担直接的法律责任，但如果借用人存在过错（如超越授权范围签订协议），公司有权向借用人追偿。
借用人行为构成职务行为：
- 如果借用人是公司员工，且其使用公章签订协议的行为属于职务行为（即履行工作职责范围内的行为），则公司需对协议承担法律责任。
- 职务行为的认定需结合借用人职位、职责、行为性质等因素综合判断。
三、借用人单独承担责任
无权代理或超越代理权：
- 如果借用人未经公司授权或超越代理权使用公章签订协议，且相对方知道或应当知道该借用行为未经授权或超越代理权，则借用人可能需单独对协议承担法律责任。
- 在此情况下，公司可能不承担直接的法律责任，但如果公司存在过错（如未及时收回公章、未对借用行为进行制止等），公司可能需承担相应的过错责任。
借用人行为构成犯罪：
- 如果借用人使用公章签订协议的行为构成犯罪（如诈骗、伪造公司印章等），则借用人需单独承担刑事责任，并可能需对公司承担民事赔偿责任。
法律建议
公司应加强公章管理：
- 公司应建立健全公章管理制度，明确公章使用范围、审批流程、保管责任等，防止公章被滥用或盗用。
明确借用行为性质和责任：
- 在借用公章前，公司应与借用人明确借用行为的性质、目的、范围及责任划分等，避免产生纠纷。
及时采取法律措施：
- 如果发现借用人滥用公章或签订违法协议，公司应及时采取法律措施（如报警、起诉等）维护自身权益。
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