借用公司名称签订合同，借用人和出借人承担连带责任的法律依据主要源于《中华人民共和国民法典》的相关规定，以及可能的公司法、合同法等相关法律法规。具体来说：

1. 民法典关于代理与连带责任的规定：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，如果借用人以出借人公司的名义签订合同，且出借人知道或应当知道此行为而未表示反对，那么出借人可能被视为对该合同行为进行了追认，从而与借用人一起对合同承担连带责任。
   • 此外，如果借用人以出借人公司名义签订合同的行为构成表见代理，即相对人有理由相信借用人有代理权，那么出借人同样可能需要对合同承担连带责任。

2. 公司法关于公司名义使用的规定：

   • 公司作为独立的法人实体，其名称、印章等具有法律效力。如果借用人未经授权擅自使用出借人公司的名称签订合同，可能构成对公司名称的非法使用，出借人在知情或应知情的情况下未采取必要措施防止此行为，也可能因此承担连带责任。

3. 合同法关于合同效力与责任的规定：

   • 合同是双方意思表示一致的产物，如果借用人以出借人公司名义签订的合同被认定为有效，那么出借人作为合同上的“名义当事人”，在特定情况下可能需要承担合同责任，包括连带责任。
   • 特别是当合同涉及第三方利益，且第三方有合理理由相信借用人有权代表出借人公司时，出借人更可能因表见代理或类似情况而承担连带责任。

综上所述，借用公司名称签订合同，借用人和出借人承担连带责任的法律依据主要源于民法典关于代理与连带责任、公司法关于公司名义使用的规定，以及合同法关于合同效力与责任的相关规定。在实际操作中，具体责任承担情况还需根据案件的具体事实、证据以及相关法律法规进行综合判断。如有进一步疑问或需要具体法律建议，请直接向我咨询。