在涉及法律纠纷的案件中，当双方达成和解协议且被执行人按期履行时，关于是否可以申请恢复执行的问题，这通常取决于和解协议的履行情况以及是否存在特定情形。以下是对此问题的详细解答：

一、和解协议正常履行时的情况

若和解协议正在顺利履行，即双方均按照和解协议的约定全面、适当地履行各自义务，未出现任何违反和解协议的情形，那么原执行程序会暂时中止，且通常不会恢复执行。这是因为和解协议是双方当事人对自己权利义务的自主处分，法律尊重并保护当事人的意思自治。在此情况下，申请执行人无需申请恢复执行，因为和解协议已经得到了有效执行。

二、恢复执行的特定情形

尽管和解协议正在履行，但仍存在一些特定情形下，申请执行人或执行法院可以申请或依职权恢复执行原生效法律文书：

1. 被执行人不履行和解协议：

   • 若被执行人未按照和解协议的约定履行义务，如未按时支付款项、未完成约定行为等，申请执行人有权向人民法院申请恢复执行原生效法律文书。这是为了保障申请执行人的合法权益不受侵害。

2. 和解协议无效或可撤销：

   • 若和解协议存在违反法律法规强制性规定、损害国家利益、社会公共利益或他人合法权益等导致无效的情形，或存在欺诈、胁迫、重大误解等可撤销的情形，经当事人申请或法院依职权审查确认后，法院可恢复执行原生效法律文书。这是为了维护法律的公正和权威。

3. 当事人恶意串通逃避执行：

   • 若双方当事人恶意串通，通过签订和解协议的方式逃避执行，损害债权人或其他第三人的利益，法院一旦发现这种情况，会依职权恢复执行原生效法律文书。这是为了防止当事人通过不正当手段逃避法律责任。

三、法律建议

在达成和解协议后，双方当事人都应严格遵守协议内容，全面、适当地履行各自义务。若确实出现履行问题或存在上述特定情形，申请执行人应及时与被执行人沟通协商或通过法律途径解决争议。同时，对于可能存在的风险，如和解协议的无效、可撤销或恶意串通等情况，当事人应保持警惕并及时寻求法律援助以保护自己的合法权益。

综上所述，当达成和解协议且被执行人按期履行时，通常不会恢复执行。但若存在被执行人不履行和解协议、和解协议无效或可撤销、当事人恶意串通逃避执行等特定情形时，申请执行人或执行法院可以申请或依职权恢复执行原生效法律文书。