在狗没牵绳被车撞且车子逃逸的情况下，责任归属需根据具体情况来判断，可能由狗主人承担主要或全部责任，也可能涉及逃逸车辆驾驶员的部分责任。以下是对此问题的详细分析：
一、狗主人的责任
管理不善：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十五条，饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或管理人应承担侵权责任。若狗未牵绳而在道路上自由奔跑，狗主人未尽到管理和约束义务，存在过错。在车辆正常行驶且无其他违法行为的情况下，狗主人通常需对狗的死亡或受伤承担主要甚至全部责任。
特殊情况减轻责任：
- 若逃逸车辆驾驶员存在故意或重大过失（如为报复而故意撞狗，或在能避让的情况下未避让），狗主人的责任可能相应减轻。但在此案例中，由于车辆逃逸，这一特殊情况较难直接认定，需依赖后续调查和证据。
二、逃逸车辆驾驶员的责任
交通肇事逃逸：
- 驾驶员在发生交通事故后逃逸，无论其是否承担事故的主要责任，都已违反了《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定。逃逸行为本身即构成违法，且可能加重其法律责任。
过错责任：
- 若驾驶员在行驶过程中存在超速、闯红灯、分心驾驶等违法行为，这些行为增加了事故发生的风险。即使狗未牵绳，驾驶员也可能因自身的过错行为而承担相应责任。然而，在逃逸的情况下，驾驶员的过错责任可能因逃逸行为而更加严重。
赔偿问题：
- 若驾驶员被追查并确认存在过错，其可能需要赔偿狗主人因狗死亡或受伤造成的损失，包括购买狗的费用、饲养费用（如狗粮、疫苗、医疗费用等）及可能的精神损害抚慰金。同时，驾驶员还可能面临交通管理部门的行政处罚，如罚款、吊销驾驶证等。
三、处理建议
及时报警与证据收集：
- 狗主人应立即报警，并尽可能收集相关证据，如监控录像、现场照片、证人证言等。这些证据将有助于后续的责任认定和纠纷解决。
寻求法律援助：
- 狗主人可咨询专业律师，了解自身权益和可能的法律途径。律师将根据具体情况提供针对性的法律建议和帮助，包括如何收集证据、如何与交通管理部门和保险公司沟通等。
追查逃逸车辆：
- 狗主人应积极配合交通管理部门的调查工作，提供尽可能多的线索以追查逃逸车辆。一旦找到逃逸车辆和驾驶员，狗主人可依法追究其法律责任。
综上所述，狗没牵绳被车撞且车子逃逸的情况下，责任归属需根据具体情况来判断。狗主人应加强对动物的管理和约束，确保动物不会对社会造成危害；同时，驾驶员也应遵守交通规则，确保行车安全。在发生事故时，双方应冷静处理，及时报警并收集证据，以便后续的责任认定和纠纷解决。 若您在此类事件中遇到法律问题，可直接向我咨询，我将为您提供专业的法律帮助。