结论：在和解协议分期履行过程中，如果中途一方不履行，另一方申请恢复执行的时效问题，主要取决于原生效法律文书的执行时效以及是否中止、中断的情形。一般来说，若未超过申请执行时效期间，且不存在中止、中断事由，另一方可以申请恢复执行。

详细分析：

1. 执行时效的基本规定：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，申请执行的期间为二年。申请执行时效的中止、中断，适用法律有关诉讼时效中止、中断的规定。这意味着，如果和解协议是基于一个已经生效的法律文书（如判决书、调解书）而达成的，那么申请恢复执行的时效通常受到这个二年期间的限制。

2. 和解协议分期履行与执行时效的关系：

   • 和解协议分期履行并不改变原生效法律文书的执行力。如果一方在分期履行过程中违约，另一方有权依据原生效法律文书申请恢复执行。但关键在于，这个申请必须在申请执行时效期间内提出。

3. 执行时效的中止与中断：

   • 中止：在申请执行时效期间的最后六个月内，如果因不可抗力或者其他障碍不能行使请求权的，申请执行时效中止。从中止时效的原因消除之日起，申请执行时效期间继续计算。
   • 中断：申请执行时效因申请执行、当事人一方提出履行要求或者同意履行义务而中断。从中断时起，申请执行时效期间重新计算。这意味着，如果双方在和解协议履行过程中有相关的沟通或行为导致时效中断，那么申请恢复执行的时效期间会重新计算。

4. 实际操作建议：

   • 如果一方在和解协议分期履行过程中违约，另一方应尽快核查原生效法律文书的申请执行时效期间是否已过，以及是否存在时效中止、中断的情形。
   • 如果未超过时效期间，且不存在中止、中断事由，另一方可以依法向法院申请恢复执行。
   • 如果已超过时效期间，或者存在时效已过的风险，另一方可能需要考虑通过其他法律途径（如重新起诉、协商等）来维护自己的权益。

特殊情况说明：

• 如果和解协议本身具有独立的法律效力（即不是基于原生效法律文书而达成的），那么申请执行的时效可能受到和解协议本身的约定以及相关法律法规的规定影响。这种情况下，需要具体分析和解协议的条款以及相关法律法规来确定申请恢复执行的时效。

后续行动建议：

• 如果你面临这样的情况，建议尽快咨询专业律师，以便更准确地判断申请恢复执行的时效问题，并采取相应的法律措施来维护自己的权益。有问题可以直接向我咨询，我会结合你的具体情况给出更详细的法律建议。