罪犯在暂予监外执行期间死亡的，相关执行机关、基层组织或原单位等需按照法律规定履行一系列通知、档案处理及死因确认等程序。以下是对此问题的详细解答：
通知义务与程序
执行机关的通知责任：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关规定，负责执行暂予监外执行的社区矫正机构、公安机关等执行机关，在罪犯死亡后，有责任第一时间将消息告知罪犯原服刑的监狱或者看守所。这一规定确保了刑罚执行信息的及时传递与衔接，便于相关部门及时掌握情况并作出相应处理。例如，若罪犯因疾病在暂予监外执行期间死亡，执行机关应立即通知监狱或看守所，以便其完善相关档案记录。
基层组织或原单位的告知义务：如果罪犯居住地的基层组织或原所在单位首先发现罪犯死亡，它们也有义务及时告知公安机关，由公安机关进一步通知监狱或看守所。这确保了信息的多渠道传递，防止因信息不畅而导致的处理延误。
通知内容的要求：执行机关在通知时，应明确说明罪犯死亡的时间、地点、原因等具体情况，并提交由医院、公安机关等有权机构出具的死亡证明。这些信息对于后续处理及家属的安抚至关重要。
档案处理与后续工作
档案归档：监狱或看守所收到执行机关的通知和死亡证明后，应及时将该罪犯的档案进行整理归档，并在相关登记表中注明死亡情况。这完成了刑罚执行程序上关于该罪犯的后续工作，确保了档案的完整性和准确性。
看守所的特别规定：看守所应当将执行地公安机关的书面通知归入罪犯档案，以便日后查阅和参考。这一规定进一步强调了档案管理的规范性和重要性。
死亡原因的确认与调查
医疗鉴定：如果罪犯因病死亡，监狱应当立即组织医疗鉴定，明确死因。这一步骤对于后续处理及家属的安抚至关重要，因为它提供了关于罪犯死亡原因的权威证据。
家属与检察机关的知情权：罪犯在服刑期间（包括暂予监外执行期间）死亡的，监狱应当立即通知罪犯家属，并同时通知人民检察院、人民法院。这既体现了对家属的尊重，也保证了司法监督的及时性。家属有权了解罪犯的死亡原因和情况，以便作出相应的处理。
重新鉴定与检验：如果人民检察院对监狱的医疗鉴定有疑义，可以重新对死亡原因作出鉴定。同样，罪犯家属对死因有疑义的，也有权向人民检察院提出，请求重新鉴定。在罪犯非正常死亡的情况下，人民检察院应当立即进行检验，并对死亡原因作出权威鉴定。这确保了死亡原因的准确性和公正性，防止了可能的误判或隐瞒。
总结与建议：
罪犯在暂予监外执行期间死亡是一个需要多部门协同处理的法律问题。执行机关、基层组织、原单位、监狱、看守所、人民检察院和人民法院等各方都应严格按照法律规定履行职责，确保死亡信息的及时传递、档案的妥善处理以及死亡原因的准确确认。作为家属或相关方，如果遇到此类情况，应及时与相关部门沟通并了解处理进展。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律意见和帮助。