罪犯在暂予监外执行审查期间死亡的，相关法律规定及处理程序如下：
一、通知义务与程序
执行机关的通知责任：
- 当罪犯在暂予监外执行期间死亡，负责执行的社区矫正机构或公安机关等执行机关，有义务在第一时间将罪犯死亡的消息通知罪犯原服刑的监狱或看守所。这一规定确保了刑罚执行信息的及时传递，便于相关部门及时掌握情况并作出相应处理。
基层组织或原单位的告知义务：
- 若罪犯居住地的基层组织或原所在单位首先发现罪犯死亡，它们也有责任及时告知公安机关，由公安机关进一步通知监狱或看守所。这一环节确保了信息的多渠道传递，防止信息遗漏。
通知内容的要求：
- 执行机关在通知时，应详细说明罪犯死亡的时间、地点、原因等具体情况，并提交由医院、公安机关等有权机构出具的死亡证明。这些信息对于后续处理及家属的安抚至关重要。
二、档案处理与后续工作
档案归档：
- 监狱或看守所收到执行机关的通知和死亡证明后，应及时将该罪犯的档案进行整理归档，并在相关登记表中注明死亡情况。这一步骤完成了刑罚执行程序上关于该罪犯的后续工作，确保了档案的完整性和准确性。
看守所的特别规定：
- 看守所应当将执行地公安机关的书面通知归入罪犯档案，以备后续查阅和审计。
三、死亡原因的确认与调查
医疗鉴定：
- 如果罪犯因病死亡，监狱应当立即组织医疗鉴定，明确死因。这一步骤对于后续处理及家属的安抚具有关键作用，能够确保死因的准确性和公正性。
家属与检察机关的知情权：
- 罪犯在服刑期间（包括暂予监外执行期间）死亡的，监狱应当立即通知罪犯家属，并同时通知人民检察院、人民法院。这既体现了对家属的尊重，也保证了司法监督的及时性，防止了权力滥用和腐败现象的发生。
重新鉴定与检验：
- 如果人民检察院对监狱的医疗鉴定有疑义，可以重新对死亡原因作出鉴定。同样，罪犯家属对死因有疑义的，也有权向人民检察院提出，请求重新鉴定。在罪犯非正常死亡的情况下，人民检察院应当立即进行检验，并对死亡原因作出权威鉴定。这一步骤确保了死亡原因的准确性和公正性，维护了法律的严肃性和罪犯及其家属的合法权益。
四、法律后果与责任
- 若死亡原因涉及刑事犯罪：如罪犯系被他人杀害或自杀等，相关责任人将依法承担刑事责任。同时，监狱或看守所等执行机关也可能因监管不力等承担相应的行政责任或民事责任。
- 若死亡原因系正常病亡：则按照上述程序处理档案、通知家属和检察机关等，无需追究刑事责任。但监狱或看守所等执行机关仍需对罪犯的死亡情况进行审查，以确保其符合暂予监外执行的条件和程序。
总结来说，罪犯在暂予监外执行审查期间死亡是一个需要多部门协同处理的法律问题。执行机关、基层组织、原单位、监狱、看守所、人民检察院和人民法院等各方都应严格按照法律规定履行职责，确保死亡信息的及时传递、档案的妥善处理以及死亡原因的准确确认。这样既能维护法律的严肃性，也能保障罪犯及其家属的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。