结论：在您于单位工作14年且合同到期后，若单位要求您转至第三方公司而您不愿签署新合同，您有权选择不签，并且根据不同情况，您可能获得一定的经济补偿或赔偿。

分析说明：

1. 合同到期与续签问题：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期后，用人单位与劳动者双方均有权选择是否续签劳动合同。若您不愿续签，则原劳动合同自然终止。
   • 在您的情况下，由于单位要求您转至第三方公司签署新合同，这实际上构成了劳动合同的变更（包括用人单位的变更）。若您不同意这一变更，您有权拒绝签署新合同。

2. 经济补偿与赔偿：

   • 经济补偿：若原单位在劳动合同到期后，未与您协商一致就变更劳动合同内容（如用人单位变更），且您因此选择不签署新合同，根据《劳动合同法》的相关规定，原单位可能需要向您支付经济补偿。经济补偿的计算通常基于您在原单位的工作年限和月工资水平。具体来说，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
     • 计算公式：\(经济补偿 = 工作年限 \times 月工资\)（其中，工作年限超过12年的，按12年计算；月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年）。
   • 赔偿：若原单位存在违法解除劳动合同或未依法支付经济补偿等情形，您还可能有权要求原单位支付赔偿金。但在此情况下，由于是您选择不签署新合同，因此赔偿金的可能性相对较小，除非原单位存在其他违法行为。

3. 后续行动建议：

   • 与原单位协商：首先，您可以尝试与原单位进行协商，了解其变更劳动合同的具体原因和条件，并表达您不愿签署新合同的意愿。在协商过程中，您可以提及经济补偿的问题，并尝试达成一致意见。
   • 申请劳动仲裁：若协商无果，您可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求原单位支付经济补偿。在申请劳动仲裁时，您需要提供相关证据（如劳动合同、工资单、工作证明等）来支持您的主张。
   • 寻求法律援助：若您对劳动仲裁程序不熟悉或担心自己的权益无法得到保障，您可以寻求专业律师的法律援助。律师可以为您提供法律咨询、代理申请劳动仲裁等服务，帮助您维护自己的合法权益。

特殊场景：

• 若原单位在劳动合同到期前未提前通知您合同即将到期或未就续签事宜与您进行协商，这可能构成违法解除劳动合同的情形（尽管实际上合同是到期终止，但单位的某些行为可能违反了诚实信用原则或相关法律法规）。在此情况下，您可能更有权要求原单位支付经济补偿或赔偿金。然而，这需要根据具体情况和当地法律法规进行判断。

行动建议总结：

• 您有权选择不签署转至第三方公司的新合同。
• 根据您在原单位的工作年限和月工资水平，您可能有权获得经济补偿。
• 若协商无果，您可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁来维护自己的权益。
• 在整个过程中，若您感到困惑或不确定如何操作，建议寻求专业律师的法律援助。

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