结论前置：合同到期后未续签但双方仍在继续履行合同的，将形成事实合同关系或视为不定期合同（特定合同类型），双方原则上仍受原合同条款的约束，但建议尽快续签书面合同以明确权利义务并规避法律风险。以下是对此问题的详细分析：
一、法律关系的认定
事实合同关系的形成：
- 当合同到期后，双方虽未书面续签，但继续按原合同履行义务，即形成事实合同关系，这可以视为对原合同的延续。例如，甲乙两公司货物供应合同到期后仍按原约定继续交易，即构成事实合同关系。
不定期合同的产生（特定合同类型）：
- 对于租赁合同等特定类型合同，租赁期满后承租人继续使用租赁物且出租人无异议的，原租赁合同转为不定期租赁。如小张租住小李房屋，合同到期后继续居住并交租，即形成不定期租赁合同关系。
劳动合同的特殊规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，劳动者继续在用人单位工作且用人单位未提出异议的，，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。但此时，用人单位需支付双倍工资作为惩罚性赔偿（若未及时续签书面合同且超过一个月）。
二、双方的权利和义务
基本权利义务的延续：
- 在事实合同或不定期合同中，除期限外，原合同的其他条款原则上继续有效并约束双方当事人。例如，货物供应合同中的质量标准、检验方式等条款仍具约束力。
任意解除权（针对不定期合同）：
- 在不定期合同中，双方通常享有任意解除权，但需提前合理通知对方。如不定期租赁合同中，房东需提前通知租客以便其寻找新住所。
劳动者的特殊保护：
- 在劳动合同关系中，劳动者在未续签期间享有与正式员工相同的权益，包括工资、福利等。若用人单位解除劳动关系，则需依法支付经济补偿金或赔偿金。
三、存在的法律风险
合同不确定性风险：
- 缺乏书面续签导致合同内容和期限不明确，易引发纠纷。如事实合同履行中一方要求变更条款而另一方不同意，可能产生争议。
法律适用风险：
- 法律关系认定争议可能影响法律适用和案件处理结果。如事实合同与原合同在法律问题上的适用差异可能导致权益受损。
经济补偿风险（针对劳动合同）：
- 用人单位未续签或降低条件续订而劳动者不同意时，需支付经济补偿金。若未及时续签书面合同且超过一个月，还可能面临双倍工资差额赔偿责任。
四、应对建议
及时续签书面合同：
- 为避免法律风险，双方应在合同到期前协商续签事宜，并签订书面合同明确条款和期限。这有助于明确双方的权利义务，减少不必要的争议。
协商解决争议：
- 若发生争议，双方应首先尝试友好协商，并保留相关证据以备后续可能的法律诉讼。如因合同履行问题产生分歧，应明确争议焦点并寻求解决方案。
遵守法律规定：
- 用人单位应遵守《劳动合同法》等法律法规，保障劳动者合法权益。合理调整劳动关系，如无法续签则协商解除并支付经济补偿金。
特殊情况处理：
- 对于劳动合同关系，用人单位需特别注意合同到期后不续签的经济补偿规定。长期未签书面劳动合同可能视为无固定期限劳动合同，用人单位需承担相应责任。
综上所述，合同到期后未续签但继续履行时，双方应明确法律关系、权利义务及潜在风险，并及时采取措施续签或协商解决争议。若您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。