母亲一般无权直接将父亲名下的银行存款转移到自己名下，但特定情形下可依法处理该存款。具体分析如下：

1. 若父亲留有有效遗嘱：根据《民法典》第一千一百二十三条，继承开始后，有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理。若父亲在遗嘱中明确指定其银行存款由母亲继承，母亲可凭遗嘱、父亲死亡证明、亲属关系证明等材料，到银行办理存款过户或支取手续。此时母亲的处理行为具有合法依据。

2. 若父亲未留遗嘱：根据《民法典》第一千一百二十七条，遗产按法定顺序继承，第一顺序为配偶、子女、父母。此时父亲的银行存款属于夫妻共同财产的，应先分割出母亲的一半份额，剩余部分作为遗产由母亲、子女、父母共同继承。母亲若想将全部存款转至自己名下，需经其他继承人书面同意放弃继承权，或通过诉讼由法院判决确认继承份额后，凭生效法律文书办理过户。

3. 特殊情形处理：若存款金额较小（通常指5万元以下），部分银行可能允许配偶凭死亡证明、亲属关系证明、承诺书等材料直接支取，但需注意该操作可能引发后续继承纠纷。若父亲生前与母亲有财产约定（如婚内财产协议），或存款属于母亲个人财产（如母亲婚前存款存入父亲账户），则需根据具体证据认定产权归属。

建议操作步骤：

1. 查询存款性质（是否为夫妻共同财产）
2. 确认父亲是否留有遗嘱
3. 召集所有法定继承人协商继承方案
4. 办理公证或诉讼确认继承权
5. 持生效文书到银行办理过户

风险提示：未经其他继承人同意擅自转移存款，可能构成对他人财产权的侵害，需承担返还财产、赔偿损失等法律责任。建议处理前先梳理家庭继承关系，必要时委托律师协助办理继承手续。如有具体案件细节需要分析，可直接向我咨询。