结论概述：母亲是否可以不通知女儿自行处理父亲过世后留下的、已转到其名下的存款，这主要取决于存款的性质以及是否存在有效的遗嘱或遗赠扶养协议。以下是从不同角度进行的分析：

1. 存款性质与继承权：

   • 若存款属于父亲与母亲的夫妻共同财产，那么在父亲去世后，其中一半应归母亲所有，另一半则作为父亲的遗产进行分配。
   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗产的继承首先遵循遗嘱或遗赠扶养协议，若无此类协议，则按照法定继承顺序进行。在法定继承中，子女（包括女儿）是第一顺序继承人，有权继承父亲的遗产。

2. 遗嘱或遗赠扶养协议的存在：

   • 如果父亲生前立有遗嘱或遗赠扶养协议，并且明确指定了存款的分配方式，那么母亲在处理存款时应遵循遗嘱或协议的规定。
   • 在这种情况下，如果遗嘱或协议中未提及女儿或明确排除了女儿的继承权，母亲可能无需通知女儿即可处理存款（但仍需确保处理方式符合遗嘱或协议的要求）。

3. 无遗嘱或遗赠扶养协议的情况：

   • 若父亲未立遗嘱或遗赠扶养协议，那么存款作为遗产应按照法定继承顺序进行分配。
   • 在这种情况下，女儿作为第一顺序继承人，有权知道并参与遗产的分配过程。母亲作为另一继承人，不能单方面决定存款的处理方式，而应与其他继承人（包括女儿）协商处理。

4. 母亲处理存款的合法性与后果：

   • 如果母亲未经女儿同意或未遵循法定继承程序擅自处理存款，女儿有权向法院提起诉讼，要求确认继承权并追回应得的遗产份额。
   • 母亲可能因此面临法律责任，包括但不限于返还非法处理的遗产、赔偿损失等。

法律建议：

• 在处理此类家庭财产纠纷时，建议母亲和女儿首先进行友好协商，明确存款的性质和继承方式。
• 如果协商无果或存在争议，建议寻求专业法律帮助，通过法律途径解决纠纷。
• 作为子女，女儿有权了解并参与父亲遗产的分配过程，应积极维护自己的合法权益。

后续行动建议：

• 母亲和女儿可以共同咨询专业律师，了解具体的法律程序和继承规定。
• 如果存在遗嘱或遗赠扶养协议，应仔细审查其内容并确保处理方式符合协议要求。
• 在处理遗产过程中，应保留好相关证据和文件，以备不时之需。

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