当行政复议机关不履行其法定职责，即在法定期限内未作出行政复议决定时，申请人可以通过以下几种途径来维护自身的合法权益：

一、向有关部门投诉举报

适用情形：当您认为行政复议机关无正当理由逾期不作出复议决定，且这种不作为已经损害了您的合法权益时，您可以向该复议机关的上级部门或同级人民政府的法制工作机构反映情况。

法律依据：根据《中华人民共和国行政复议法》及相关法规，行政机关有义务依法履行行政复议职责。对于不履行职责的行为，上级机关和有关部门有权进行监督和纠正。

操作指南：您可以准备一份详细的投诉举报材料，包括复议申请书、邮寄凭证、行政复议机关收件证明等相关证据，向相关部门提交，并要求其督促复议机关尽快作出决定。

二、提起行政诉讼

适用情形：如果行政复议机关在法定期限内未作出复议决定，且您对原具体行政行为不服，您有权向人民法院提起行政诉讼。

法律依据：根据《中华人民共和国行政诉讼法》第四十五条的规定，公民、法人或者其他组织不服复议决定的，可以在收到复议决定书之日起十五日内向人民法院提起诉讼；复议机关逾期不作决定的，申请人可以在复议期满之日起十五日内向人民法院提起诉讼。

操作指南：

1. 直接起诉原行政行为：您可以在复议期满之日起十五日内，以原行政机关为被告，向人民法院提起诉讼，请求法院对原行政行为进行审查并作出判决。
2. 起诉复议机关不作为：在某些情况下，您也可以选择以复议机关为被告，提起行政诉讼，要求其履行行政复议职责或承担相应法律责任。提起诉讼时，需准备充分的证据材料，如复议申请书、邮寄凭证、行政复议机关收件证明等。

三、申请行政赔偿（如适用）

适用情形：如果因复议机关的不作为导致您的合法权益受到损害，您有权依据国家赔偿法的相关规定，申请行政赔偿。

法律依据：根据《中华人民共和国国家赔偿法》的规定，国家机关及其工作人员违法行使职权侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，受害人有取得国家赔偿的权利。

操作指南：您可以向复议机关提出行政赔偿申请，要求其赔偿因不作为给您造成的损失。如果复议机关拒绝赔偿或您对赔偿数额有异议，您可以向人民法院提起行政赔偿诉讼。

四、其他救济途径

1. 寻求法律援助：如果您对法律程序不熟悉或需要专业的法律意见，您可以咨询专业律师或法律援助机构，获取专业的法律帮助。
2. 媒体曝光与舆论监督：在合法合规的前提下，您可以通过媒体曝光等方式引起社会关注，促使相关部门尽快解决问题。但需注意避免侵犯他人合法权益或违反法律法规。

综上所述，当行政复议机关不履行其法定职责时，您有多种途径来维护自身的合法权益。建议您根据具体情况选择合适的途径，并准备充分的证据材料以支持您的诉求。