当行政机关不履行行政复议决定时，申请人可以通过一系列合法途径来维护自身的权益。以下是一些具体的处理方式和相应的法律依据：
一、向上级行政机关或有关部门反映情况
处理方式：
- 投诉举报：如果复议机关在法定期限内未作出任何答复或未履行复议决定，申请人可以向其上级行政机关或者有关监察、法制部门反映情况。这些部门具有对复议机关失职行为进行调查和处理的权力。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国行政复议法》等相关法律法规，行政机关有义务依法履行行政复议职责。对于不履行职责的行为，上级机关和有关部门有权进行监督和纠正。
二、提起行政诉讼
处理方式：
- 直接起诉原行政行为：如果复议机关逾期不作决定或未履行复议决定，申请人可以在复议期满之日起十五日内向人民法院提起诉讼，请求法院对原行政行为进行审查并作出判决。
- 起诉复议机关不作为：在某些情况下，申请人也可以选择以复议机关为被告，提起行政诉讼，要求其履行行政复议职责或承担相应法律责任。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国行政诉讼法》第四十五条的规定，公民、法人或者其他组织不服复议决定的，可以在收到复议决定书之日起十五日内向人民法院提起诉讼；复议机关逾期不作决定的，申请人可以在复议期满之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
三、申请行政赔偿（如适用）
处理方式：
- 如果因复议机关的不作为导致申请人的合法权益受到损害，申请人还可以依据国家赔偿法的相关规定，申请行政赔偿。
法律依据：
- 《中华人民共和国国家赔偿法》规定，国家机关及其工作人员违法行使职权侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，受害人有取得国家赔偿的权利。
四、其他救济途径
处理方式：
- 寻求法律援助：申请人可以咨询专业律师或法律援助机构，获取专业的法律意见和帮助，以便更好地维护自己的权益。
- 媒体曝光与舆论监督：在合法合规的前提下，通过媒体曝光等方式引起社会关注，促使相关部门尽快解决问题。但需注意避免侵犯他人合法权益或违反法律法规。
综上所述，当行政机关不履行行政复议决定时，申请人可以通过向上级行政机关或有关部门反映情况、提起行政诉讼、申请行政赔偿以及寻求其他救济途径等方式来维护自己的合法权益。希望这些信息能对您有所帮助。